В коробке лежат 7 синих, 8 жёлтых и 16 зелёных карандашей. Какое наибольшее количество красных карандашей можно добавить в коробку, чтобы среди любых 30 выбранных были карандаши по крайней мере трёх различных цветов?

Для решения задачи сначала определим общее количество карандашей в коробке:

• Синие: 7
• Жёлтые: 8
• Зелёные: 16

Общее количество карандашей: \( 7 + 8 + 16 = 31 \).

Теперь рассчитаем, сколько карандашей нужно взять, чтобы гарантировать наличие карандашей как минимум трёх разных цветов. Мы знаем, что в коробке уже есть карандаши трёх разных цветов, и нужно определить, сколько красных карандашей можно добавить.

Если добавить \( x \) красных карандашей, то общее количество карандашей в коробке станет \( 31 + x \).

Чтобы среди любых 30 выбранных карандашей было не менее трёх цветов, давайте рассчитаем, сколько карандашей одного цвета можно взять так, чтобы потом не оставалось достаточно карандашей другого цвета. Для этого определим наименьшее количество карандашей, которое может быть взято в самом неблагоприятном случае:

Если взять все синие и жёлтые карандаши:

• Синие: 7
• Жёлтые: 8

Сумма: \( 7 + 8 = 15 \).

Теперь остается всего \( 30 - 15 = 15 \) карандашей.

Эти 15 карандашей могут быть либо зелёными, либо красными. Чтобы избежать наличия трёх цветов, нужно, чтобы количество зелёных карандашей было меньше 15, когда мы доведем общее количество до 30.

В текущей конфигурации в коробке 16 зелёных карандашей:

Пусть \( x \) - количество красных карандашей, тогда мы должны удовлетворять следующему критерию:

\[ 15 + x < 30 \]

Решая неравенство:

\[ x < 15 \]

Таким образом, мы можем добавить не более 14 красных карандашей, чтобы гарантировать наличие карандашей по крайней мере трёх различных цветов среди выбранных 30 карандашей.

Наибольшее количество красных карандашей, которое можно добавить, составляет 14.