Дана окружность w с центром О. Точки М и N — соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности ш. На окружности w выбраны точки Е и F так, что хорда EF проходит через точки М и N • Найдите отношение радиуса окружности w к длине хорды ЕЕ, если известно, что EF : MN = 5. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Давайте рассмотрим данную задачу.

Пусть радиус окружности \( r \) и длина хорды \( EF \) обозначим как \( L \). Нам известно, что отношение длин \( EF \) и \( MN \) равно 5, то есть:

\[ \frac{L}{MN} = 5 \quad \Rightarrow \quad L = 5 \cdot MN \]

Теперь найдем длину \( MN \). Поскольку \( M \) и \( N \) являются серединами радиусов \( OA \) и \( OB \) соответственно, расстояние \( MN \) можно вычислить. Находясь на расстоянии \( r \) от центра \( O \), каждое из этих значений равно \( \frac{r}{2} \), тогда:

\[ MN = \frac{r}{2} \]

Пользуясь полученным значением, найдем \( L \):

\[ L = 5 \cdot MN = 5 \cdot \frac{r}{2} = \frac{5r}{2} \]

Теперь необходимо найти отношение радиуса окружности к длине хорды:

\[ \frac{r}{L} = \frac{r}{\frac{5r}{2}} = \frac{2}{5} \]

И, в соответствии с задачей, нам нужно представить квадрат этого отношения:

\[ \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25} \]

Финальный ответ:

\(\frac{4}{25}\)