В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером к записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112). Всего на доску выписали 200 строчек (то есть 200 чисел). Сколько из них делятся на 3?
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим структуру последовательности чисел, которая записана в строках.
- Первая строка – это число 1.
- Вторая строка – это число 12.
- Для строк с номером \( k \) общее число будет получаться путем объединения всех чисел от 1 до \( k \).
Например, для 12-й строки (как указано в задаче) число будет выглядеть так: 123456789101112.
Если мы обозначим число в \( k \)-й строке как \( N_k \), тогда оно будет представлять собой последовательность всех чисел от 1 до \( k \) в соединённом виде.
Теперь нам нужно выяснить, сколько из этих чисел делится на 3. Чтобы это сделать, нам надо найти, как определяется делимость на 3.
Критерий делимости на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Теперь проанализируем, как считается сумма цифр каждого числа \( N_k \):
- Для каждого \( k \) мы собираем все числа от 1 до \( k \).
- Сумма цифр числа от 1 до \( k \) будет значительной, но можно заметить важный момент: сколько из них приводят к сумме, которая делится на 3.
Числа от 1 до \( k \) могут быть равномерно распределены в отношении их цифр, что означает, что на каждой 3-й группе мы должны ожидать в среднем, что 1/3 — будут делиться на 3 из-за равномерного распределения сумм.
Поэтому, если у нас 200 строк, мы можем обойтись следующим образом:
- Постепенно проверяем, для каких \( k \) числа \( N_k \) могут делиться на 3, начиная от 1 до 200.
- В общем случае, мы можем оценить, что примерно 1/3 из 200 - это 66-67 (так как 200/3 ≈ 66.67).
Таким образом, из 200 чисел, написанных на доске, около 66-67 чисел будут делиться на 3.
