Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку В проведены касательные к каждой из окружностей, вторично пересекающие их в точках С и К. Найдите длину хорды АВ, если СА — 6, КА — 54 и касательные перпендикулярны друг другу.

Для нахождения длины хорды \( AB \) воспользуемся свойствами касательных и геометрическими соотношениями в данном треугольнике.

На основании условий задачи мы имеем две окружности, которые пересекаются в точках \( A \) и \( B \). Касательные к окружностям из точки \( B \) пересекают окружности в точках \( C \) и \( K \), при этом \( CA = 6 \) и \( KA = 54 \). Также нам известно, что касательные \( BC \) и \( BK \) перпендикулярны друг другу.

Так как касательные к окружностям равны, мы можем записать:

\[ BC = BA = x \]

Известно, что сумма отрезков \( CA \) и \( KA \) равна длине отрезка \( CK \):

\[ CK = CA + AK = 6 + 54 = 60 \]

Так как \( BC \) и \( BK \) перпендикулярны, треугольник \( BCK \) является прямоугольным. По теореме Пифагора можем записать следующее уравнение:

\[ BK^2 + BC^2 = CK^2 \]

Подставим известные значения:

\[ BK^2 + x^2 = 60^2 \]

Находим \( BK \) – так как \( BK = BA = x \):

\[ x^2 + x^2 = 3600 \] \[ 2x^2 = 3600 \] \[ x^2 = 1800 \] \[ x = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \]

Теперь мы можем найти длину хорды \( AB \), которая равна \( 2x \):

\[ AB = 2x = 2 \cdot 30\sqrt{2} = 60\sqrt{2} \]

Таким образом, длина хорды \( AB \) составляет \( 60\sqrt{2} \).