В первую строчку записали число 1.Во вторую строчку число 12.Далее в строчку с номером k записывали число,получившееся переписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число (123456789101112). Всего на доску выписали 101 строчку (то есть 101 число).Сколько из них делится на 3
Для решения этой задачи нам нужно понять, какое число записывается в каждой строке и как определить, делится ли число на 3.
Список чисел: В первой строке записываем 1, во второй строке 12, а в третьей строке будет 123 (переписываем числа от 1 до 3), в четвёртой — 1234 и так далее. В n-ой строке будет записано все числа от 1 до n конкатенированным способом.
Определение делимости на 3: По правилам делимости, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Найдём количество строк, делящихся на 3:
- Строка 1: 1 → сумма цифр = 1 (не делится на 3)
- Строка 2: 12 → сумма цифр = 1 + 2 = 3 (делится на 3)
- Строка 3: 123 → сумма цифр = 1 + 2 + 3 = 6 (делится на 3)
- Строка 4: 1234 → сумма цифр = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (не делится на 3)
- Строка 5: 12345 → сумма цифр = 15 (делится на 3)
- И так далее.
Обобщим: В строке номер k сумма цифр равна \( \frac{k(k+1)}{2} \), что является суммой первых k натуральных чисел.
Проверка делимости: Нам нужно проверить, когда сумма \( S(k) = \frac{k(k+1)}{2} \) делится на 3. Для этого можно анализировать k modulo 3:
- Если k ≡ 0 (mod 3), то \( k(k+1) \) делится на 3.
- Если k ≡ 1 (mod 3), то \( k(k+1) \) делится на 3, так как (k+1) будет делиться на 3.
- Если k ≡ 2 (mod 3), то делимость не выполняется.
Таким образом, числа k, которые делятся на 3 или k + 1 делится на 3, будут давать строки, сумма чисел которых делится на 3.
Подсчёт: Из чисел от 1 до 101:
- k = 3, 6, 9, ..., 99 (числа, делящиеся на 3) — всего 33 числа.
- k = 1, 4, 7, ..., 100 (числа, которые находятся в форме \( k \equiv 1 \) (mod 3)) — всего 34 числа.
Таким образом, строки, которые делятся на 3, в общей сложности составляют 33 + 34 = 67.
В итоге, из 101 строки, на которых записаны числа, 67 из них делятся на 3.
