Петя выписывает на карточках трехзначные натуральные числа от 100 до 300 включительно (каждое-равно один раз) и раскладывает их на кучки так, чтобы в одну кучку попадали все карточки с одной и той же суммой цифр. После этого Вася забирает себе кучку, в которой наибольшее количество карточек (если таких несколько он выберет любую из них). Чему может равняться сумма цифр у каждого из Васиных чисел?

Давайте разберем задачу по частям.

Петя выписывает трехзначные числа от 100 до 300 включительно. Все эти числа имеют первую цифру 1 или 2 (поскольку первое число начинается с 1, а последнее — с 2).

Теперь, чтобы найти сумму цифр трехзначного числа вида ABC (где A, B, C - цифры числа), мы можем записать:

• Для чисел от 100 до 199: A = 1, где B и C могут принимать значения от 0 до 9.
• Для чисел от 200 до 299: A = 2, где B и C также могут принимать значения от 0 до 9.

Сумма цифр можно определить как S = A + B + C.

Суммы цифр для каждого случая

1. Для чисел от 100 до 199:
   • A = 1.
   • В этом случае максимальные значения B и C могут быть 9 (т.е. 199), а минимальные — 0 (т.е. 100).
   • Находим границы сумм:
     • Минимальная сумма: 1 + 0 + 0 = 1.
     • Максимальная сумма: 1 + 9 + 9 = 19.

Таким образом, возможные суммы цифр для чисел от 100 до 199 лежат в пределах от 1 до 19.

2. Для чисел от 200 до 299:
   • A = 2.
   • Аналогично, максимальные значения B и C могут быть 9, а минимальные — 0.
   • Находим границы сумм:
     • Минимальная сумма: 2 + 0 + 0 = 2.
     • Максимальная сумма: 2 + 9 + 9 = 20.

Таким образом, возможные суммы цифр для чисел от 200 до 299 лежат в пределах от 2 до 20.

Объединение результатов

Мы можем объединить результаты для обоих диапазонов:

• Суммы цифр от 1 до 19 (для 100-199).
• Суммы цифр от 2 до 20 (для 200-299).

Уникальные суммы цифр

Теперь давайте соберем все возможные уникальные суммы:

• Суммируется от 1 до 20.

Таким образом, Вася может выбрать сумму 1, 2, 3, 4, ..., 20. Однако, поскольку Петя группирует числа по одинаковым суммам, и Вася выбирает ту, которая имеет наибольшее количество карточек, он сможет выбрать любые числа, у которых есть такие суммы.

Заключение

Сумма цифр у каждого из Васиных чисел может равняться любому целому числу от 1 до 20 включительно.