В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 40 рублей, а в пятницу 58…
В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 40 рублей, а в пятницу 58 рублей. При этом в пятницу суммарные затраты на призы оказались выше, чем в четверг, как минимум на 1000 рублей, а число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2. Какое наименьшее число награждённых могло быть в четверг?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество награждённых в четверг как \( x \), а в пятницу как \( y \). Мы знаем следующее:
- Стоимость приза в четверг: 40 рублей.
- Стоимость приза в пятницу: 58 рублей.
- Суммарные затраты на призы в пятницу больше затрат в четверг как минимум на 1000 рублей.
- Число награждённых в эти дни отличалось не более чем на 2, то есть \( |x - y| \leq 2 \).
Сначала запишем выражения для суммарных затрат:
- Затраты в четверг: \( 40x \).
- Затраты в пятницу: \( 58y \).
По условию задачи, можно записать неравенство:
\[ 58y \geq 40x + 1000. \]
Теперь учтём, что \( y \) может быть выражено через \( x \). Если \( y = x + d \), где \( d \) – это разница между количеством награждённых в пятницу и четверг (может быть -2, -1, 0, 1, или 2). Используя ограничения на \( d \), мы можем подставить его в неравенство:
\[ 58(x + d) \geq 40x + 1000. \]
Распределив и упростив, получим:
\[ 58x + 58d \geq 40x + 1000, \] \[ 18x + 58d \geq 1000. \]
Теперь мы можем решить это неравенство для различных значений \( d \) от -2 до 2.
Для \( d = 2 \): \[ 18x + 58(2) \geq 1000, \] \[ 18x + 116 \geq 1000, \] \[ 18x \geq 884, \] \[ x \geq \frac{884}{18} \approx 49.11. \] Минимальное целое число – 50.
Для \( d = 1 \): \[ 18x + 58(1) \geq 1000, \] \[ 18x + 58 \geq 1000, \] \[ 18x \geq 942, \] \[ x \geq \frac{942}{18} \approx 52.33. \] Минимальное целое число – 53.
Для \( d = 0 \): \[ 18x + 58(0) \geq 1000, \] \[ 18x \geq 1000, \] \[ x \geq \frac{1000}{18} \approx 55.56. \] Минимальное целое число – 56.
Для \( d = -1 \): \[ 18x + 58(-1) \geq 1000, \] \[ 18x - 58 \geq 1000, \] \[ 18x \geq 1058, \] \[ x \geq \frac{1058}{18} \approx 58.78. \] Минимальное целое число – 59.
Для \( d = -2 \): \[ 18x + 58(-2) \geq 1000, \] \[ 18x - 116 \geq 1000, \] \[ 18x \geq 1116, \] \[ x \geq \frac{1116}{18} \approx 62.00. \] Минимальное целое число – 62.
Сравнив все минимальные значения \( x \) для различных \( d \), мы видим, что наименьшее значение происходит при \( d = 2 \), и это 50.
Таким образом, наименьшее число награждённых в четверг могло быть 50.
