Острый угол в градусах между прямыми система 3X + Y - 5z + 1 = 0 2x + 3y - 8z + 3 = 0 и X / 1 = Y - 1 / 2 = Z / 3 равен?
Для решения задачи о нахождении острого угла между двумя прямыми, заданными в различных формах, давайте разберем их по очереди.
Первая прямая: у нас есть система уравнений: \[ 3X + Y - 5Z + 1 = 0 \] \[ 2X + 3Y - 8Z + 3 = 0 \]
Чтобы упростить, можем выразить \(Z\) через \(X\) и \(Y\).
Из первого уравнения: \[ 5Z = 3X + Y + 1 \implies Z = \frac{3X + Y + 1}{5} \]
Из второго уравнения: \[ 8Z = 2X + 3Y + 3 \implies Z = \frac{2X + 3Y + 3}{8} \]
Теперь приравняем оба выражения для \(Z\): \[ \frac{3X + Y + 1}{5} = \frac{2X + 3Y + 3}{8} \]
Умножим обе стороны на 40, чтобы избавиться от дробей: \[ 8(3X + Y + 1) = 5(2X + 3Y + 3) \] Раскроем скобки: \[ 24X + 8Y + 8 = 10X + 15Y + 15 \] Переносим все в одну сторону: \[ 14X - 7Y - 7 = 0 \implies 2X - Y - 1 = 0 \implies Y = 2X - 1 \]
Вторая прямая: задана в параметрической форме: \[ \frac{X}{1} = \frac{Y - 1}{2} = \frac{Z}{3} = t \] Отсюда имеем: \[ X = t, \quad Y = 2t + 1, \quad Z = 3t \]
Нахождение угла: Чтобы найти угол между двумя прямыми, нам нужно использовать их направление. Для первой прямой, подставляя найденные значения, направления можно не вывода, а используя векторы.
Прямую можно выразить через направления (напр. нормали), получим: Направляющие векторы: Для первой прямой, согласно полученным уравнениям, направляющий вектор: \[ \vec{d_1} = (2, 1, 5) \] Для второй прямой: \[ \vec{d_2} = (1, 2, 3) \]
Формула угла между векторами: Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения: \[ \cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}| |\vec{d_2}|} \] Вычисляем скалярное произведение: \[ \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 2 + 2 + 15 = 19 \]
Находим длины векторов: \[ |\vec{d_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \] \[ |\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \]
Подставляем в формулу: \[ \cos \theta = \frac{19}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{14}} \]
Найдите арккосинус для получения угла.
Для острого угла между прямыми важно, чтобы угол был в пределах 0° и 90°. Если θ полученный больше 90°, вычтем его из 180°.
После вычислений получим острого угла между указанными прямыми.
