Дан квадратный трехчлен f(x). Известно что линейный функция у= f(x+1)-f(x) обращается в ноль при х=7. При каком значении аргумента обращается в ноль функция у=f(x+3)-f(x)?

Давайте разберемся с данной задачей по квадратному трехчлену. Обозначим функцию \( f(x) \) в общем виде как:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \]

где \( a, b, c \) — некоторые коэффициенты.

Сначала рассмотрим линейную функцию \( y = f(x+1) - f(x) \). Подставим \( x+1 \) в выражение для \( f(x) \):

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c). \]

Теперь подставим \( f(x) \):

\[ y = f(x+1) - f(x) = [ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)] - [ax^2 + bx + c]. \]

После упрощения получаем:

\[ y = (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b). \]

Исходя из условия задачи, эта линейная функция обращается в ноль при \( x = 7 \):

\[ 2a(7) + (a + b) = 0. \]

Следовательно:

\[ 14a + a + b = 0 \implies 15a + b = 0 \implies b = -15a. \]

Теперь перейдем к функции \( y = f(x+3) - f(x) \). Мы проделываем тот же процесс:

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c. \]

Теперь вычтем \( f(x) \):

\[ y = f(x+3) - f(x) = [ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)] - [ax^2 + bx + c]. \]

После упрощения:

\[ y = (6a + b - b)x + (9a + 3b) = 6ax + (9a + 3b). \]

Теперь мы знаем, что \( b = -15a \), поэтому подставляем:

\[ 9a + 3(-15a) = 9a - 45a = -36a. \]

Таким образом, у нас получается:

\[ y = 6ax - 36a. \]

Чтобы эта функция обратилась в ноль, необходимо:

\[ 6ax - 36a = 0. \]

Решаем это уравнение:

\[ 6ax = 36a \implies x = 6 \quad (\text{при } a \neq 0). \]

Итак, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 6 \).