МК — средняя линия трапеции ABCD (точки М и К лежат соответственно на сторонах АВ и CD). Через точку К проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону AD в точке Р. а) Докажите, что АМКР — параллелограмм. б) Найдите периметр параллелограмма АМКР, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, AD=7 см.

Давайте разберем вашу задачу по частям.

а) Докажите, что АМКР — параллелограмм.

1. Определение средней линии трапеции. Средняя линия трапеции соединяет середины оснований и является параллельной этим основаниям. В нашем случае, точка М — середина стороны АВ, а точка К — середина стороны CD.

2. Параллельность сторон. Учитывая, что линия, проведенная через точку К, параллельна стороне АВ, мы можем заметить следующее:

   • Линия АМ (из точки А в точку М) параллельна стороне КР (из точки К в точку Р), поскольку М — середина стороны АВ и К — середина стороны CD.
   • Таким образом, AМ || KR.

3. Далее, так как М — середина и АБ и К — середина и CD, то:

   • Линия АК (из точки А в точку К) параллельна стороне МР (из точки М в точку Р), поскольку они обе являются направлениями, перпендикулярными к MX.
   • Следовательно, AK || MP.

Так как у нас есть две пары параллельных сторон (AM || KR и AK || MP), по определению, четырёхугольник АМКР является параллелограммом.

б) Найдите периметр параллелограмма АМКР, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, AD = 7 см.

Для нахождения периметра параллелограмма нам необходимо знать длины всех его сторон. Поскольку М и К — середины отрезков АВ и CD, можно использовать следующие свойства:

1. Длина стороны AM:

   • Так как М — середина, длина отрезка АМ будет равна половине длины АВ: \[ AM = \frac{AB}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}. \]

2. Длина стороны KR:

   • Поскольку KR || AM и это параллелограмм, длина KR также равна длине AM, то есть: \[ KR = AM = 2 \text{ см}. \]

3. Длина стороны AK:

   • Поскольку K — середина CD, и длина стороны CD равна длине AD, К — середина, значит: \[ AK = \frac{AD}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ см}. \]

4. Длина стороны MP:

   • Аналогично, стороне MP соответствует длина AK: \[ MP = AK = 3.5 \text{ см}. \]

Теперь можно вычислить периметр параллелограмма АМКР: \[ P = 2(AM + AK) = 2(2 + 3.5) = 2 \times 5.5 = 11 \text{ см}. \]

Таким образом, периметр параллелограмма АМКР равен 11 см.