в треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=4:1. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. найдите отношение площади треугольника БКР к площади…
В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=4:1. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. найдите отношение площади треугольника БКР к площади треугольника АВК
Для решения задачи будем использовать свойства медиа́н и площади треугольников.
Пусть площадь треугольника \( ABC \) равна \( S \). Поскольку \( BM \) — это медиана, то она делит треугольник \( ABC \) на два треугольника \( ABM \) и \( BCM \), каждая из которых имеет площадь \( \frac{S}{2} \).
Отметим, что по условию \( BK:KM = 4:1 \). Это означает, что \( BK = 4x \) и \( KM = x \) для некоторого \( x \). Таким образом, длина медианы \( BM = BK + KM = 4x + x = 5x \).
Теперь отметим, что точка \( K \) делит медиану \( BM \) в отношении 4:1, что также означает, что площадь треугольника \( BKM \) будет равна \( \frac{1}{5} \) от площади треугольника \( BMC \), так как высота от точки \( B \) на сторону \( AC \) у треугольников \( BKM \) и \( BMC \) будет одинаковой.
Площадь треугольника \( BMC \) равна \( \frac{S}{2} \), следовательно, площадь треугольника \( BKM \) будет равна: \[ S_{BKM} = \frac{1}{5} \cdot \frac{S}{2} = \frac{S}{10}. \]
Теперь найдем площадь треугольника \( ABK \). Поскольку точка \( K \) делит медиану в том же отношении 4:1, то площадь треугольника \( ABK \) будет составлять \( \frac{4}{5} \) от площади треугольника \( ABM \) (так как \( ABM \) и \( ABK \) имеют общую высоту, опущенную из \( A \) на \( BM \)): \[ S_{ABK} = \frac{4}{5} \cdot \frac{S}{2} = \frac{4S}{10} = \frac{2S}{5}. \]
Теперь, чтобы найти отношение площадей треугольников \( BKR \) и \( ABK \), нужно использовать найденные площади. Площадь треугольника \( BKR \) равна площади \( BKM \), так как основание \( BK \) и высота из \( R \) совпадают для этих треугольников.
Теперь можем записать отношение: \[ \frac{S_{BKR}}{S_{ABK}} = \frac{S_{BKM}}{S_{ABK}} = \frac{\frac{S}{10}}{\frac{2S}{5}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}. \]
Следовательно, отношение площади треугольника \( BKR \) к площади треугольника \( ABK \) равно \( \frac{1}{4} \).
