На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из…
На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 69. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 64. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 87 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Для решения этой задачи обозначим числа на доске как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
- Когда Коля вычитает 1 из каждого числа, он получает \( |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 69 \).
- Когда Вася вычитает 2, он получает \( |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 64 \).
- Когда Андрей вычитает 3, он получает \( |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 87 \).
Теперь давайте проанализируем эти уравнения.
Пусть \( a \) — количество нулей в наборе, \( b \) — количество единиц, \( c \) — количество двоек и \( d \) — количество троек. Мы можем выразить каждую сумму через \( a, b, c, d \):
Для Коли: \[ S_1 = a \cdot |0 - 1| + b \cdot |1 - 1| + c \cdot |2 - 1| + d \cdot |3 - 1| \\ = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 1 + d \cdot 2 = a + c + 2d = 69 \]
Для Васи: \[ S_2 = a \cdot |0 - 2| + b \cdot |1 - 2| + c \cdot |2 - 2| + d \cdot |3 - 2| \\ = a \cdot 2 + b \cdot 1 + c \cdot 0 + d \cdot 1 = 2a + b + d = 64 \]
Для Андрея: \[ S_3 = a \cdot |0 - 3| + b \cdot |1 - 3| + c \cdot |2 - 3| + d \cdot |3 - 3| \\ = a \cdot 3 + b \cdot 2 + c \cdot 1 + d \cdot 0 = 3a + 2b + c = 87 \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( a + c + 2d = 69 \) (1)
- \( 2a + b + d = 64 \) (2)
- \( 3a + 2b + c = 87 \) (3)
Решим эту систему уравнений.
Начнем с (1): выразим \( c \): \[ c = 69 - a - 2d \]
Подставим \( c \) в уравнение (3): \[ 3a + 2b + (69 - a - 2d) = 87 \\ 2a + 2b - 2d = 18 \\ a + b - d = 9 \quad (4) \]
Теперь подставим \( c \) в уравнение (2): \[ 2a + b + d = 64 \quad (2) \]
Теперь у нас есть:
- \( a + b - d = 9 \)
- \( 2a + b + d = 64 \)
Решим эту систему: Из уравнения (4) выразим \( b \): \[ b = 9 + d - a \quad (5) \]
Подставим (5) в (2): \[ 2a + (9 + d - a) + d = 64 \\ a + 2d + 9 = 64 \\ a + 2d = 55 \quad (6) \]
Теперь у нас есть:
- \( a + 2d = 55 \)
- \( a + b - d = 9 \)
Теперь выразим \( a \): Из (6): \[ a = 55 - 2d \] Подставим \( a \) в (4): \[ (55 - 2d) + b - d = 9 \\ b - 3d + 55 = 9 \\ b = 3d - 46 \quad (7) \]
Теперь подставим \( a \) из (6) и \( b \) из (7) обратно в (1): \[ (55 - 2d) + c + 2d = 69 \\ c + 55 = 69 \\ c = 14 \]
Теперь подставим \( c = 14 \) обратно в (1), чтобы найти \( d \): \[ a + 14 + 2d = 69 \\ a + 2d = 55 \]
Подставим \( a = 55 - 2d \) в (7): \[ (55 - 2d) + (3d - 46) - d = 9 \\ 55 - 2d + 3d - 46 - d = 9 \\ 9 = 9 \]
Теперь подставим значение \( d \): Если \( d = 0 \): \[ a = 55, \quad b = -46 \text{ (не подходит)} \\ Если d= 1 : \] а = 53; b = 3; c = 14; \ И так далее…
Таким образом, мы можем определить, что на доске было 14 двоек.
