Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а сумма их баллов больше 21. Сумма баллов всех трёх девочек оказалась меньше 72 и 2¼ раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• баллы Аделины как \( x \),
• баллы Эвелины как \( x \) (так как они равны),
• баллы Паулины как \( y \).

Согласно условию задачи, у нас есть следующие уравнения:

1. \( 2x > 21 \) (сумма баллов Аделины и Эвелины больше 21),
2. \( 2x + y < 72 \) (сумма баллов всех трех девочек меньше 72),
3. \( 2x = \frac{9}{4}y \) (сумма баллов Аделины и Эвелины в 2¼ раза больше баллов Паулины).

Теперь упростим и выразим \( y \) через \( x \) из третьего уравнения:

\[ y = \frac{8}{9} \cdot 2x = \frac{16}{9}x \]

Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:

\[ 2x + \frac{16}{9}x < 72 \]

Объединим дроби:

\[ \frac{18}{9}x + \frac{16}{9}x < 72 \]

\[ \frac{34}{9}x < 72 \]

Умножим обе части на 9:

\[ 34x < 648 \]

Теперь разделим обе части на 34:

\[ x < \frac{648}{34} \approx 19.06 \]

Так как \( x \) должно быть целым числом, то \( x \leq 19 \).

Возвращаемся к первому неравенству \( 2x > 21 \):

\[ x > 10.5 \]

Так как \( x \) также должно быть целым числом, то \( x \geq 11 \).

Таким образом, \( x \) может принимать значения от 11 до 19. Теперь проверим каждое из возможных значений:

1. Если \( x = 11 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 11 \approx 19.44 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

2. Если \( x = 12 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 12 = \frac{192}{9} \approx 21.33 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

3. Если \( x = 13 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 13 \approx 23.11 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

4. Если \( x = 14 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 14 \approx 24.89 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

5. Если \( x = 15 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 15 \approx 26.67 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

6. Если \( x = 16 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 16 \approx 28.44 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

7. Если \( x = 17 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 17 = \frac{272}{9} \approx 30.22 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

8. Если \( x = 18 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 18 \approx 32 \quad (\text{целое, подходит, и проверим условия}): \]

   • \( 2x = 36 > 21 \) (выполнено),
   • \( 2x + y = 36 + 32 = 68 < 72 \) (выполнено).

9. Если \( x = 19 \): \[ y = \frac{16}{9} \cdot 19 \approx 33.78 \quad (\text{нецелое, не подходит}) \]

Теперь мы видим, что единственное подходящее целое значение для Аделины (и Эвелины) - 18 баллов.

Таким образом, Аделина набрала 18 баллов на олимпиаде.