Найдите все натуральные n такие, что найдётся простое число p, для которого выполняется равенство 6n2+p+6=n(2p+15).
Чтобы найти все натуральные \( n \), для которых существует простое число \( p \), выполняющее равенство
\[ 6n^2 + p + 6 = n(2p + 15), \]
начнем с преобразования данного уравнения.
- Переносим все слагаемые в одну часть уравнения:
\[ 6n^2 + p + 6 - n(2p + 15) = 0. \]
- Раскроем скобки:
\[ 6n^2 + p + 6 - 2np - 15n = 0. \]
- Перепишем уравнение, группируя похожие слагаемые:
\[ 6n^2 - 15n + (1 - 2n)p + 6 = 0. \]
Теперь у нас есть уравнение относительно \( p \):
\[ (1 - 2n)p = - (6n^2 - 15n + 6). \]
Поделим обе стороны на \( 1 - 2n \), при условии что \( 1 - 2n \neq 0 \):
\[ p = \frac{-(6n^2 - 15n + 6)}{1 - 2n}. \]
После упрощения получаем:
\[ p = \frac{15n - 6 - 6n^2}{1 - 2n}. \]
Чтобы \( p \) было простым числом, правая часть уравнения должна быть положительной целым числом. Это требует, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковый знак.
Теперь проанализируем различные значения \( n \):
Если \( n = 1 \): \[ p = \frac{15(1) - 6 - 6(1)^2}{1 - 2(1)} = \frac{15 - 6 - 6}{-1} = \frac{3}{-1} = -3, \quad \text{(не подходит)} \]
Если \( n = 2 \): \[ p = \frac{15(2) - 6 - 6(2)^2}{1 - 2(2)} = \frac{30 - 6 - 24}{-3} = \frac{0}{-3} = 0, \quad \text{(не подходит)} \]
Если \( n = 3 \): \[ p = \frac{15(3) - 6 - 6(3)^2}{1 - 2(3)} = \frac{45 - 6 - 54}{-5} = \frac{-15}{-5} = 3, \quad \text{(подходит, 3 - простое)} \]
Если \( n = 4 \): \[ p = \frac{15(4) - 6 - 6(4)^2}{1 - 2(4)} = \frac{60 - 6 - 96}{-7} = \frac{-42}{-7} = 6, \quad \text{(не подходит, 6 - не простое)} \]
Если \( n = 5 \): \[ p = \frac{15(5) - 6 - 6(5)^2}{1 - 2(5)} = \frac{75 - 6 - 150}{-9} = \frac{-81}{-9} = 9, \quad \text{(не подходит, 9 - не простое)} \]
Если \( n = 6 \): \[ p = \frac{15(6) - 6 - 6(6)^2}{1 - 2(6)} = \frac{90 - 6 - 216}{-11} = \frac{-132}{-11} = 12, \quad \text{(не подходит, 12 - не простое)} \]
Продолжая этот процесс для больших \( n \), можно заметить, что для \( n \geq 4 \) \( p \) начинает принимать значения, которые не соответствуют простым числам или ведут к отрицательным значениям. Таким образом, единственным натуральным \( n \), при котором \( p \) - простое число, является \( n = 3 \).
Ответ: \( n = 3 \).
