Дан квадратный трёхчлен f(z). Известно, что линейная функция у = f(x+1)-f(x) обращается в ноль при 7. При каком значении аргумента обращается в ноль функция = f(x+3)-f(x)?
Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.
Определение функции: Пусть \( f(z) = az^2 + bz + c \) — это квадратный трёхчлен, где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты.
Линейная функция: Мы знаем, что линейная функция \( y = f(x+1) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 7 \). В этом случае: \[ f(x+1) - f(x) = (a(x+1)^2 + b(x+1) + c) - (ax^2 + bx + c). \]
Упрощая это, получаем: \[ f(x+1) - f(x) = a((x+1)^2 - x^2) + b((x+1) - x) = a((x^2 + 2x + 1) - x^2) + b(1) = 2ax + a + b. \]
В итоге, линейная функция может быть записана как: \[ y = 2ax + (a + b). \]
Условия задачи: Эта линейная функция обращается в ноль при \( x = 7 \). То есть: \[ 2a(7) + (a + b) = 0. \] Это возможно записать как: \[ 14a + a + b = 0 \Rightarrow 15a + b = 0 \Rightarrow b = -15a. \]
Вторая линейная функция: Теперь нам нужно найти значение, при котором функция \( y = f(x+3) - f(x) \) равна нулю: \[ f(x+3) - f(x) = (a(x+3)^2 + b(x+3) + c) - (ax^2 + bx + c). \]
Упрощаем: \[ f(x+3) - f(x) = a((x+3)^2 - x^2) + b((x+3) - x) = a((x^2 + 6x + 9) - x^2) + b(3) = 6ax + 9a + 3b. \]
Подставляя выражение \( b = -15a \): \[ f(x+3) - f(x) = 6ax + 9a + 3(-15a) = 6ax + 9a - 45a = 6ax - 36a. \] Выносим \( 6a \): \[ = 6a(x - 6). \]
Чтобы эта функция обращалась в ноль, необходимо, чтобы: \[ x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6. \]
Таким образом, функция \( f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 6 \).
