В треугольнике АВС со сторонами АВ — 6, АС = 10, медиана АМ = 4. Чему равна площадь треугольника АВС?

Чтобы найти площадь треугольника ABC, мы можем использовать формулу для нахождения площади через длины сторон и медиану. Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы:

\[ S = \frac{2}{3} \cdot AM \cdot BC, \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( AM \) — длина медианы,
• \( BC \) — основание треугольника, которое мы можем найти с помощью теоремы о медиане.

Сначала нам нужно найти длину стороны \( BC \). Сторона \( BC \) связана с длинами сторон \( AB \) и \( AC \), а также длиной медианы \( AM \) по формуле:

\[ AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}. \]

Подставим известные значения:

• \( AB = 6 \)
• \( AC = 10 \)
• \( AM = 4 \)

Получим:

\[ 4^2 = \frac{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 10^2 - BC^2}{4}. \]

Это упростится до:

\[ 16 = \frac{2 \cdot 36 + 2 \cdot 100 - BC^2}{4}. \]

Умножим обе стороны на 4:

\[ 64 = 72 + 200 - BC^2. \]

Сложим числа:

\[ 64 = 272 - BC^2. \]

Решим уравнение:

\[ BC^2 = 272 - 64, \] \[ BC^2 = 208, \] \[ BC = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}. \]

Теперь вычислим площадь \( S \) треугольника:

\[ S = \frac{2}{3} \cdot AM \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{13}. \]

Это дает:

\[ S = \frac{32\sqrt{13}}{3}. \]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна \(\frac{32\sqrt{13}}{3}\) единиц площади.