В детском лагере каждый день проводится по одному конкурсу. Каждый отличившийся в конкурсе получает вечером ровно один приз. В четверг каждый приз стоил 39 руб., а в пятницу – 60…

Для решения этой задачи начнем с обозначений. Пусть \( x \) — количество награжденных в четверг, а \( y \) — количество награжденных в пятницу.

Согласно условию, стоимость призов на четверг составляет \( 39 \times x \), а на пятницу — \( 60 \times y \). Также известно, что затраты в пятницу выше, чем в четверг, как минимум на 1000 руб.:

\[ 60y > 39x + 1000 \]

Кроме того, число награжденных в эти дни отличалось не более чем на два:

\[ |y - x| \leq 2 \]

Теперь рассмотрим оба случая для выражения |y - x|.

Случай 1: \( y = x + 2 \)

Подставим это значение в неравенство:

\[ 60(x + 2) > 39x + 1000 \]

Раскроем скобки:

\[ 60x + 120 > 39x + 1000 \]

Теперь перенесем все значения к одной стороне:

\[ 60x - 39x > 1000 - 120 \]

Это упрощается до:

\[ 21x > 880 \]

Решим это неравенство:

\[ x > \frac{880}{21} \approx 41.9 \]

Так как \( x \) должно быть целым, минимально возможное значение \( x \) в этом случае равно 42.

Теперь находим \( y \):

\[ y = 42 + 2 = 44 \]

Проверим условия:

• Стоимость призов в четверг: \( 39 \times 42 = 1638 \)
• Стоимость призов в пятницу: \( 60 \times 44 = 2640 \)
• Разница: \( 2640 - 1638 = 1002 \), что больше 1000.

Все условия выполняются.

Случай 2: \( y = x + 1 \)

Подставим это значение:

\[ 60(x + 1) > 39x + 1000 \]

Раскроем скобки:

\[ 60x + 60 > 39x + 1000 \]

Переносим все к одной стороне:

\[ 60x - 39x > 1000 - 60 \]

Что упрощается до:

\[ 21x > 940 \]

Решим это неравенство:

\[ x > \frac{940}{21} \approx 44.76 \]

Минимально возможное значение \( x \) здесь равно 45. Находим \( y \):

\[ y = 46 \]

Проверим:

• Стоимость призов в четверг: \( 39 \times 45 = 1755 \)
• Стоимость призов в пятницу: \( 60 \times 46 = 2760 \)
• Разница: \( 2760 - 1755 = 1005 \), что также больше 1000.

Случай 3: \( y = x - 1 \)

Подставим это значение:

\[ 60(x - 1) > 39x + 1000 \]

Раскроем скобки:

\[ 60x - 60 > 39x + 1000 \]

Переносим все к одной стороне:

\[ 60x - 39x > 1000 + 60 \]

Что упрощается до:

\[ 21x > 1060 \]

Решим это неравенство:

\[ x > \frac{1060}{21} \approx 50.48 \]

Минимально возможное значение \( x \) здесь равно 51. Находим \( y \):

\[ y = 50 \]

Проверим:

• Стоимость призов в четверг: \( 39 \times 51 = 1989 \)
• Стоимость призов в пятницу: \( 60 \times 50 = 3000 \)
• Разница: \( 3000 - 1989 = 1011 \), что также больше 1000.

Случай 4: \( y = x - 2 \)

Подставим значение \( y = x - 2 \):

\[ 60(x - 2) > 39x + 1000 \]

Раскроем скобки:

\[ 60x - 120 > 39x + 1000 \]

Переносим к одной стороне:

\[ 60x - 39x > 1000 + 120 \]

Что упрощается до:

\[ 21x > 1120 \]

Решим это неравенство:

\[ x > \frac{1120}{21} \approx 53.33 \]

Минимально возможное значение для \( x \) здесь равно 54. Находим \( y \):

\[ y = 52 \]

Проверим:

• Стоимость призов в четверг: \( 39 \times 54 = 2106 \)
• Стоимость призов в пятницу: \( 60 \times 52 = 3120 \)
• Разница: \( 3120 - 2106 = 1014 \), что также больше 1000.

Вывод

После рассмотрения всех случаев, минимальное значение для награжденных в четверг, которое выполняет условия задачи, это 42.

Таким образом, наименьшее число награждённых, которое могло быть в четверг, равно 42.