4. Медиана, проведенная K основанию равнобедренного треугольника, делит его на два треугольника. Докажите, что периметры этих треугольников равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и медиа́на K проведена из вершины A к основанию BC. Обозначим точку пересечения медианы и основания как M. Таким образом, BM = MC.

Теперь мы должны доказать, что периметры треугольников ABM и ACM равны.

Периметр треугольника ABM: P(ABM) = AB + BM + AM.

Периметр треугольника ACM: P(ACM) = AC + CM + AM.

Поскольку треугольник равнобедренный, у нас есть: AB = AC и BM = MC.

Подставим эти равенства в выражения для периметров:

P(ABM) = AB + BM + AM = AB + MC + AM, P(ACM) = AC + CM + AM = AC + BM + AM.

Теперь заменим BM на MC и AC на AB:

P(ABM) = AB + MC + AM, P(ACM) = AB + BM + AM.

Так как BM = MC, можем утверждать, что:

P(ABM) = AB + MC + AM, P(ACM) = AB + MC + AM.

Следовательно, периметры этих треугольников равны: P(ABM) = P(ACM).

Таким образом, мы доказали, что периметры треугольников ABM и ACM равны.