В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны 2 cos a и 3 sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

В данном прямоугольном треугольнике с острым углом \( a \) катеты равны \( 2 \cos a \) и \( 3 \sin a \).

Сначала определим, какой из катетов меньше. Для этого сравним \( 2 \cos a \) и \( 3 \sin a \).

1. Сравним выражения: \[ 2 \cos a \quad \text{и} \quad 3 \sin a \] Делим каждое из них на \( \cos a \) (при \( \cos a \neq 0 \)): \[ \frac{2 \cos a}{\cos a} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{3 \sin a}{\cos a} = 3 \tan a \] Таким образом, нам нужно определить, каково значение \( 3 \tan a \) относительно 2.

   Решим неравенство: \[ 3 \tan a < 2 \implies \tan a < \frac{2}{3} \] Если это выполнено, то \( 2 \cos a < 3 \sin a \), и меньший катет будет равен \( 2 \cos a \).

2. Теперь найдем квадрат меньшего катета, который в данном случае равен \( 2 \cos a \): \[ (2 \cos a)^2 = 4 \cos^2 a \]

3. Поскольку \( \cos^2 a \) можно выразить через \( \sin^2 a \), где \( \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \): \[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \]

Таким образом, мы можем выразить \( 4 \cos^2 a \) как: \[ 4 \cos^2 a = 4 (1 - \sin^2 a) = 4 - 4 \sin^2 a \]

Теперь, используя известное соотношение между катетами и углами, если мы знаем его значение, можем найти \( \sin^2 a \) и заменить его в нашем выражении. Однако для получения окончательного ответа важно учитывать, какое значение делает \( 2 \cos a \) меньше \( 3 \sin a \).

Для конкретного случая:

1. Если считать, что \( a \) будет углом, при котором \( \tan a < \frac{2}{3} \),
2. То, следуя значениям тригонометрических функций и необходимым преобразованиям, вам будет легче подставить конкретные значения.

Окончательный ответ на вопрос о квадрате меньшего катета в виде несократимой обыкновенной дроби: \[ 4 \cos^2 a = \frac{4(1 - \sin^2 a)}{1} = 4 - 4\sin^2 a \]
где \( a \) в соответствии с задачей будет оцениваться.

Таким образом, окончательно квадрат меньшего катета в виде \( \frac{4 - 4 \sin^2 a}{1} \) будет вашим ответом.