Доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 53. Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 44. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 59 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел, написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим, что каждый из участников (Коля, Василий и Андрей) выполнял со своими числами.

Обозначим числа на доске как \( a_1, a_2, \ldots, a_n \), где \( a_i \) — неотрицательные целые числа.

1. Действия Коли: Он вычёл из каждого числа 1 и вычислил сумму модулей: \[ S_1 = |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 53 \]

2. Действия Васи: Он вычёл из каждого числа 2: \[ S_2 = |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 44 \]

3. Действия Андрея: Он вычёл из каждого числа 3: \[ S_3 = |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 59 \]

Теперь, чтобы найти связь между этими суммами, давайте рассмотрим, как меняется сумма модулей в результате вычитания различных значений.

Если:

• Число \( a_i \geq 3 \):

  • \( |a_i - 1| = a_i - 1 \)
  • \( |a_i - 2| = a_i - 2 \)
  • \( |a_i - 3| = a_i - 3 \)

• Если \( a_i = 2 \):

  • \( |2 - 1| = 1 \)
  • \( |2 - 2| = 0 \)
  • \( |2 - 3| = 1 \)

• Если \( a_i = 1 \):

  • \( |1 - 1| = 0 \)
  • \( |1 - 2| = 1 \)
  • \( |1 - 3| = 2 \)

• Если \( a_i = 0 \):

  • \( |0 - 1| = 1 \)
  • \( |0 - 2| = 2 \)
  • \( |0 - 3| = 3 \)

Рассмотрим действия Коли и Васи:

1. Из \( S_1 \) и \( S_2 \): \[ S_1 - S_2 = 53 - 44 = 9 \] Это означает, что в результате перехода от \( S_1 \) к \( S_2 \) общее количество раз, когда сумма уменьшилась на 1, равняется 9. То есть, ровно 9 таких чисел, значения которых меньше 2, т.е. равны 0 или 1. Все остальные должны быть больше или равны 2.

Теперь прочитаем изменения между \( S_2 \) и \( S_3 \): 2. Из \( S_2 \) и \( S_3 \): \[ S_2 - S_3 = 44 - 59 = -15 \] Это означает, что переход от \( S_2 \) к \( S_3 \) приводит к увеличению суммы на 15, которые все должны быть больше 3. Количество таких чисел будет равно 15.

Для нахождения количества двоек на доске, обратим внимание на перерасчет.

Пусть \( x \) — количество 2. Мы можем записать следующее уравнение: \[ 2x + 1(9-y) + 0(y) = 53, \] где \( y \) — количество единиц, и \( (9 - y) \) — количество нулей на доске.

Также учитываем:

• \( 1y + 2(x - y) + 3z = 44 \)
• \( 0p + 1(9-x) + 2z = 59 \)

При разрешении этих уравнений, мы можем определить, что сумма двоек \( x = 9 \) даст правильный результат.

При этом хвостовые подсчеты будут давать 0 и 1 значения. Имея все это, можем сделать вывод, что: \[ \text{Количество двоек на доске} = 9. \]

Таким образом, на доске было написано 9 двоек.