Для скольких пар (p; q), образованных целыми числами, выполняется неравенство р2 + q² < 2(p + 3g)? Пары, отличающиеся порядком элементов, считаются различными.
Давайте разберем данное неравенство \( p^2 + q^2 < 2(p + 3q) \).
Сначала преобразуем его:
Перепишем неравенство: \[ p^2 + q^2 < 2p + 6q \]
Переместим все члены на одну сторону: \[ p^2 - 2p + q^2 - 6q < 0 \]
Теперь завершим квадрат для \( p \) и \( q \): \[ (p - 1)^2 - 1 + (q - 3)^2 - 9 < 0 \] Это преобразуется в: \[ (p - 1)^2 + (q - 3)^2 < 10 \]
Теперь мы имеем неравенство, описывающее круг радиусом \(\sqrt{10}\) с центром в точке \((1, 3)\) на координатной плоскости.
Чтобы найти количество целых пар \((p, q)\), удовлетворяющих этому неравенству, нужно определить, какие целые точки находятся внутри этого круга.
Целые числа, которые могут быть выбраны, находятся в пределах:
По оси \( p \): \[ p - 1 \in (-\sqrt{10}, \sqrt{10}) \implies 1 - 3 < p < 1 + 3 \implies -2 < p < 5 \] То есть \( p \) может принимать значения \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \).
По оси \( q \): \[ q - 3 \in (-\sqrt{10}, \sqrt{10}) \implies 3 - 3 < q < 3 + 3 \implies 0 < q < 6 \] То есть \( q \) может принимать значения \( 1, 2, 3, 4, 5 \).
Теперь мы можем подсчитать количество подходящих пар \((p, q)\):
- Для \( p \) существует 7 возможных значений: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 \).
- Для \( q \) существует 5 возможных значений: \( 1, 2, 3, 4, 5 \).
Таким образом, общее количество пар \((p, q)\): \[ 7 \times 5 = 35 \]
Ответ: существует 35 различных пар \((p, q)\), удовлетворяющих заданному неравенству.
