X^3-0,25x<0 решить методом интервалов

Чтобы решить неравенство \(x^3 - 0.25x < 0\) методом интервалов, начнем с упрощения неравенства. Мы можем вынести общий множитель:

\[ x(x^2 - 0.25) < 0 \]

Теперь заметим, что \(x^2 - 0.25\) можно разложить как разность квадратов:

\[ x^2 - 0.25 = (x - 0.5)(x + 0.5) \]

Таким образом, неравенство становится:

\[ x(x - 0.5)(x + 0.5) < 0 \]

Теперь мы можем найти нули функции, приравняв каждый множитель к нулю:

1. \(x = 0\)
2. \(x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.5\)
3. \(x + 0.5 = 0 \Rightarrow x = -0.5\)

Таким образом, мы имеем три критических точки: \(-0.5\), \(0\) и \(0.5\). Теперь мы будем рассматривать интервалы, которые они создают:

1. \((- \infty, -0.5)\)
2. \((-0.5, 0)\)
3. \((0, 0.5)\)
4. \((0.5, +\infty)\)

Теперь проверим знак произведения \(x(x - 0.5)(x + 0.5)\) на каждом из этих интервалов:

• Для интервала \((- \infty, -0.5)\), например, подставим \(x = -1\): \[ (-1)((-1) - 0.5)((-1) + 0.5) = (-1)(-1.5)(-0.5) > 0 \]

• Для интервала \((-0.5, 0)\), подставим \(x = -0.25\): \[ (-0.25)((-0.25) - 0.5)((-0.25) + 0.5) = (-0.25)(-0.75)(0.25) < 0 \]

• Для интервала \((0, 0.5)\), подставим \(x = 0.25\): \[ (0.25)((0.25) - 0.5)((0.25) + 0.5) = (0.25)(-0.25)(0.75) < 0 \]

• Для интервала \((0.5, +\infty)\), подставим \(x = 1\): \[ (1)((1) - 0.5)((1) + 0.5) = (1)(0.5)(1.5) > 0 \]

Теперь, подытоживая результаты:

• На интервале \((- \infty, -0.5)\) знак положительный.
• На интервале \((-0.5, 0)\) знак отрицательный.
• На интервале \((0, 0.5)\) знак отрицательный.
• На интервале \((0.5, +\infty)\) знак положительный.

Неравенство \(x(x - 0.5)(x + 0.5) < 0\) выполняется на интервалах \((-0.5, 0)\) и \((0, 0.5)\).

Итак, окончательный ответ:

\[ x \in (-0.5, 0) \cup (0, 0.5) \]