Найдите угол М треугольника с вершинами М(-2√3; -1), N(0;1), K(0;-1).

Чтобы найти угол \( М \) треугольника с вершинами \( М(-2\sqrt{3}; -1) \), \( N(0;1) \) и \( K(0;-1) \), можно использовать метод, связанный с векторной геометрией.

1. Находим векторы CN и CK:

   • Вектор \( \overrightarrow{MN} = N - M = (0 - (-2\sqrt{3}); 1 - (-1)) = (2\sqrt{3}; 2) \)
   • Вектор \( \overrightarrow{MK} = K - M = (0 - (-2\sqrt{3}); -1 - (-1)) = (2\sqrt{3}; 0) \)

2. Находим косинус угла между векторами: Используем формулу для нахождения косинуса угла \( \theta \) между двумя векторами \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \): \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] где \( \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \) – скалярное произведение векторов, а \( |\overrightarrow{a}| \) и \( |\overrightarrow{b}| \) – длины векторов.

3. Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{MK} = (2\sqrt{3}, 2) \cdot (2\sqrt{3}, 0) = 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 2 \cdot 0 = 12 \]

4. Длину векторов: \[ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \] \[ |\overrightarrow{MK}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

5. Вычисляем косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{12}{4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

6. Находим угол: Значение \( \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) соответствует углу \( 30° \) (или \( \frac{\pi}{6} \) радиан).

Таким образом, угол \( М \) треугольника равен \( 30° \).