доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 53. Вася вычел из…

Давайте обозначим количество различных неотрицательных целых чисел на доске как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \). Мы рассматриваем операции, которые проводили Коля, Вася и Андрей.

1. Операция Коли: Он вычел из каждого числа 1 и сложил полученные модули. Это приводит нас к выражению:

   \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 53 \]

2. Операция Васи: Он вычел из каждого числа 2 и также сложил полученные модули, получая:

   \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 44 \]

3. Операция Андрея: Он вычел из каждого числа 3 и суммировал модули:

   \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 59 \]

Теперь давайте упростим каждое из этих выражений. Сначала рассмотрим, как модули ведут себя в зависимости от значений \( x_i \).

1. Если \( x_i \geq 1 \):

   • \( |x_i - 1| = x_i - 1 \)
   • Если \( x_i \geq 2 \):
     • \( |x_i - 2| = x_i - 2 \)
     • Если \( x_i \geq 3 \):
       • \( |x_i - 3| = x_i - 3 \)

2. Если \( x_i < 1 \):

   • \( |x_i - 1| = 1 - x_i \) (и аналогично для других выражений).

Мы можем переписать каждое выражение, исходя из условий на \( x_i \):

1. Если \( x_i \geq 1 \): \[ (x_1-1) + (x_2-1) + \ldots + (x_k-1) + (1-x_{k+1}) + (1-x_{k+2}) + \ldots = 53 \] где \( k \) — количество чисел, >=1.

2. Причем аналогично для других операций.

Решим систему уравнений.

Перепишем уравнения, используя обозначение \( S = x_1 + x_2 + \ldots + x_n \):

1. Для Коли: \[ S - n = 53 \implies S = 53 + n \]

2. Для Васи: \[ S - 2n = 44 \implies S = 44 + 2n \]

3. Для Андрея: \[ S - 3n = 59 \implies S = 59 + 3n \]

Теперь мы имеем три выражения для \( S \):

1. \( S = 53 + n \)
2. \( S = 44 + 2n \)
3. \( S = 59 + 3n \)

Приравняем их друг к другу:

1. \( 53 + n = 44 + 2n \)

   \[ 9 = n \implies n = 9 \]

2. Подпоставим \( n = 9 \) в другие уравнения:

   \[ S = 53 + 9 = 62 \] \[ S = 44 + 2 \times 9 = 62 \] \[ S = 59 + 3 \times 9 = 62 \]

Теперь мы знаем, что \( n = 9 \) и \( S = 62 \).

Теперь нас интересует, сколько двоек было на доске. Обозначим количество двоек как \( k_2 \), а остальные числа как \( k_{\text{others}} \).

Тогда: \[ 2k_2 + k_{\text{others}} = 62 \] \[ k_2 + k_{\text{others}} = 9 \]

Теперь из второго уравнения выразим \( k_{\text{others}} \): \[ k_{\text{others}} = 9 - k_2 \] Подставим это в первое уравнение: \[ 2k_2 + (9 - k_2) = 62 \] \[ k_2 + 9 = 62 \] \[ k_2 = 62 - 9 = 53 \]

Таким образом, ответ: на доске написано 53 двойки.