Сколько вершин может быть у выпуклого многогранника, имеющего в точности 13 рёбер? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при…

Для выпуклого многогранника со средним числом рёбер \( E \) и числом вершин \( V \) по формуле Эйлера выполняется следующее соотношение:

\[ V - E + F = 2 \]

где \( F \) — количество граней многогранника.

Из условия задачи известно, что \( E = 13 \). Для выпуклых многогранников также выполняется неравенство:

\[ E \leq 3V - 6 \]

Подставим значение \( E = 13 \):

\[ 13 \leq 3V - 6 \]

Решим это неравенство:

\[ 13 + 6 \leq 3V \implies 19 \leq 3V \implies V \geq \frac{19}{3} \approx 6.33 \]

Таким образом, \( V \) должно быть не меньше 7, поскольку \( V \) — целое число.

Теперь подставим \( V \) в формулу Эйлера. Мы можем выразить \( F \) через \( V \):

\[ F = E - V + 2 \] \[ F = 13 - V + 2 = 15 - V \]

Для количества граней \( F \) должно быть также выполнено условие \( F \geq 4 \), так как многогранник должен иметь минимум 4 грани (например, тетраэдр). Это неравенство получается так:

\[ 15 - V \geq 4 \]

Решим его:

\[ 15 - 4 \geq V \implies 11 \geq V \]

Таким образом, у нас есть следующие ограничения для \( V \):

\[ 7 \leq V \leq 11 \]

Таким образом, возможные целые значения для \( V \) — это 7, 8, 9, 10 и 11. Записываем все подходящие варианты:

7
8
9
10
11