Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь

Чтобы найти третью сторону треугольника и его площадь, воспользуемся теоремой косинусов и формулой для площади.

Дано:

• Две стороны треугольника: \( a = 6 \) см и \( b = 8 \) см
• Угол между ними: \( \gamma = 60^\circ \)

1. Находим третью сторону треугольника (\( c \)) с помощью теоремы косинусов.

Формула теоремы косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \]

Подставим значения: \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \]

Значение \( \cos(60^\circ) \) равно \( \frac{1}{2} \). Подставим это в формулу: \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 36 + 64 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] \[ c = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ см} \]

2. Находим площадь треугольника.

Площадь \( S \) треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin(\gamma) \]

Значение \( \sin(60^\circ) \) равно \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \approx 20.78 \text{ см}^2 \]

Ответ:

Третья сторона треугольника составляет приблизительно \( 7.21 \) см, а площадь – приблизительно \( 20.78 \) см².