"в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C и с точкой M - середина гипотенузы на катетах AC и BC взяты точки K и N так, что угол NMK = 90°. Докажите, что AK²+BN²=KN²"

Чтобы доказать, что AK²+BN²=KN², можно использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике AKM: AM² = AK² + KM²,

а в треугольнике BNM: BN² = BM² + MN².

Также, по свойству подобных треугольников, можем найти отношение длин сторон в подобных треугольниках: BM/MA = BN/KA = NM/KM.

Теперь, совместно используя эти свойства, можем уравнять выражения для AM² и BN²: AM² + BN² = AK² + KM² + BM² + MN².

Так как NM = KM (так как угол NMK = 90°), можем записать: AK² + BN² = AM² + BM² + MN².

Учитывая, что AM² + BM² = AB² (по теореме Пифагора в треугольнике ABM), получаем: AK² + BN² = AB² + MN².

Наконец, поскольку AB = KN (так как точка M - середина гипотенузы), получаем: AK² + BN² = KN² + MN².

Таким образом, доказано, что AK² + BN² = KN².