Дан квадратный трёхчлен f(x). Известно, что линейная функция у = f(x + 1) - f(x) обращается в ноль при х = 8. При каком значении аргумента обращается в ноль функция у = f(x + 3) -…

Обозначим квадратный трёхчлен \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

Линейная функция \( y = f(x + 1) - f(x) \) может быть найдена следующим образом:

\[ f(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) \]

Теперь вычтем \( f(x) \):

\[ y = f(x + 1) - f(x) = \left(ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)\right) - \left(ax^2 + bx + c\right) \]

\[ y = (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b) \]

Согласно условию, эта линейная функция обращается в ноль при \( x = 8 \):

\[ 2a \cdot 8 + (a + b) = 0 \]

\[ 16a + a + b = 0 \]

\[ 17a + b = 0 \quad (1) \]

Теперь найдем функцию \( y = f(x + 3) - f(x) \):

\[ f(x + 3) = a(x + 3)^2 + b(x + 3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c) \]

Теперь вычтем \( f(x) \):

\[ y = f(x + 3) - f(x) = \left(ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)\right) - \left(ax^2 + bx + c\right) \]

\[ y = (6a + b - b)x + (9a + 3b + c - c) = 6ax + (9a + 3b) \]

Теперь мы хотим найти, при каком \( x \) эта функция обращается в ноль:

\[ 6ax + (9a + 3b) = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 6ax = - (9a + 3b) \]

\[ x = -\frac{9a + 3b}{6a} \]

С учетом уравнения (1) \( b = -17a \):

\[ x = -\frac{9a + 3(-17a)}{6a} \]

\[ x = -\frac{9a - 51a}{6a} = -\frac{-42a}{6a} = \frac{42}{6} = 7 \]

Таким образом, функция \( y = f(x + 3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 7 \).