вв первую строчку записали число 1.во вторую 12.далее в строчку с номером k записывали число получающиееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. например в 12 строчке будет…

Для решения этой задачи давайте рассмотрим последовательность чисел, которые будут записаны на каждой строке.

1. В первой строке записано число 1.
2. Во второй строке – число 12.
3. Начиная с третьей строки, в строке с номером k записывается число, полученное присоединением всех чисел от 1 до k.

Формально на строке k будет записано следующее число: \[ N(k) = 1, 2, 3, \ldots, k \] где числа записаны последовательно.

Теперь давайте выясним, как узнать, делится ли число на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Посмотрим, как это работает для некоторых k:

• k = 1: число 1 → сумма = 1
• k = 2: число 12 → сумма = 1 + 2 = 3
• k = 3: число 123 → сумма = 1 + 2 + 3 = 6
• k = 4: число 1234 → сумма = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
• k = 5: число 12345 → сумма = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Теперь мы можем определить, какие из сумм делятся на 3:

• k = 1: не делится
• k = 2: делится
• k = 3: делится
• k = 4: не делится
• k = 5: делится

Здесь мы замечаем, что сумма цифр из первых k чисел это \( \frac{k(k + 1)}{2} \). Теперь мы определим, при каких k сумма будет делиться на 3.

Мы можем использовать свойство делимости чисел. Сумма \( \frac{k(k + 1)}{2} \) будет делиться на 3, если k или k + 1 делится на 3.

Теперь просчитаем количество k от 1 до 101, которые соответствуют этому критерию:

1. Если k простое, k mod 3 = 0: 3, 6, 9, ..., 99.
2. Если k + 1 простое, то в пределах k + 1). Это 2, 5, 8, ..., 100.

Расчитаем количество чисел:

• Для k: числа, кратные 3 – это 3, 6, 9, ..., 99 (то есть 33 числа).
• Для k + 1: это числа 2, 5, 8, ..., 100 (то есть 34 числа).

Теперь проверяем пересечение, чтобы не сосчитать дважды:

• k = 3 – 1 найдено
• k + 1 = 3 – 1 найдено

Теперь добавляем количества без дублирования. Всего k, делящихся на 3: 33 + 34 - 2 = 65.

Таким образом, количество строк, которые делятся на 3, составляет 65.