в первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером к записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в…
В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером к записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112). Всего на доску выписали 110 строчек (то есть 110 чисел). Сколько из них делятся на 3?
Чтобы решить эту задачу, начнем с определения, какие числа будут записаны на каждой строчке, и выявим, какие из них делятся на 3.
На первой строке записано число 1, на второй — 12. На третьей строке будет записано число, которое получается приписыванием числа 3 к строкам 1 и 2: 123. На четвертой строке будет 1234, на пятой — 12345 и так далее до 110-й строки, которая будет содержать все числа от 1 до 110 в последовательном порядке.
Число, записанное в строке k, будет выглядеть так:
\[ N_k = 123456...k. \]
Теперь определим, как проверять делимость на 3. Для этого используем правило делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Сумма цифр числа \( N_k \) равна сумме всех чисел от 1 до k. Эта сумма может быть вычислена по формуле для суммы первых n натуральных чисел:
\[ S_k = \frac{k(k + 1)}{2}. \]
Теперь нам нужно найти, для каких k от 1 до 110 выполняется:
\[ \frac{k(k + 1)}{2} \equiv 0 \mod 3. \]
Посмотрим на выражение \( k(k + 1) \). Это произведение всегда делится на 2 (так как одно из двух последовательных чисел обязательно четное), поэтому рассматриваем только выражение \( k(k + 1) \) по модулю 6 (потому что нужно учесть делимость на 3 и 2).
Теперь рассмотрим возможные значения \( k \mod 3 \):
- Если \( k \equiv 0 \mod 3 \), тогда \( k(k + 1) \equiv 0 \mod 3 \). Значит, \( S_k \equiv 0 \mod 3 \).
- Если \( k \equiv 1 \mod 3 \), тогда \( k + 1 \equiv 2 \mod 3 \), а \( k(k + 1) \equiv 2 \mod 3 \). Поэтому \( S_k \not\equiv 0 \mod 3 \).
- Если \( k \equiv 2 \mod 3 \), тогда \( k + 1 \equiv 0 \mod 3 \), и у нас \( k(k + 1) \equiv 0 \mod 3 \). Значит, \( S_k \equiv 0 \mod 3 \).
Теперь посчитаем количество k от 1 до 110, для которых \( k \equiv 0 \) или \( k \equiv 2 \mod 3 \).
Эти значения формируют арифметическую прогрессию:
- Для \( k \equiv 0 \mod 3 \): числа 3, 6, 9, ..., 108. Это 36 значений.
- Для \( k \equiv 2 \mod 3 \): числа 2, 5, 8, ..., 110. Это 37 значений.
Сложим оба количества:
\[ 36 + 37 = 73. \]
Таким образом, количество строк, в которых числа делятся на 3, равно 73.
