В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером к записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112). Всего на доску выписали 101 строчек (то есть 101 число ). Сколько из них делятся на 3?
Чтобы выяснить, сколько из записанных чисел делятся на 3, давайте проанализируем, как записываются числа в каждой строке.
В первой строке мы записали 1. Во второй строке — 12. В третьей строке — 123. В четвёртой строке — 1234. Таким образом, в к-ой строке будет записано число, представляющее собой последовательные цифры от 1 до k.
Для проверки делимости на 3 воспользуемся правилом, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Сумма цифр для к-ой строки может быть найдена как сумма первых k натуральных чисел: \[ S_k = 1 + 2 + 3 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2} \]
Теперь будем проверять, при каких k это выражение делится на 3.
Посмотрим на возможные значения \(k\) по модулю 3:
Если \(k \equiv 0 \mod 3\): \[ S_k = \frac{k(k+1)}{2} \equiv 0 \cdot 1 / 2 \equiv 0 \mod 3 \] (делится на 3)
Если \(k \equiv 1 \mod 3\): \[ S_k = \frac{k(k+1)}{2} \equiv 1 \cdot 2 / 2 \equiv 1 \mod 3 \] (не делится на 3)
Если \(k \equiv 2 \mod 3\): \[ S_k = \frac{k(k+1)}{2} \equiv 2 \cdot 3 / 2 \equiv 3 \equiv 0 \mod 3 \] (делится на 3)
Таким образом, сумма делится на 3, когда \(k \equiv 0 \mod 3\) или \(k \equiv 2 \mod 3\).
Теперь рассмотрим, какие значения \(k\) существуют от 1 до 101:
- Числа, соответствующие \(k \equiv 0 \mod 3\): 3, 6, 9, ..., 99. Это числовая последовательность с шагом 3. Количество элементов: \( \frac{99 - 3}{3} + 1 = 33\).
- Числа, соответствующие \(k \equiv 2 \mod 3\): 2, 5, 8, ..., 101. Это также числовая последовательность с шагом 3. Количество элементов: \( \frac{101 - 2}{3} + 1 = 34\).
Теперь суммируем количество k:
\[ 33 + 34 = 67 \]
Таким образом, из 101 строки, записанных на доске, 67 чисел делятся на 3.
