Дан квадратный трехчлен f(x). Известно, что линейная функция y=f(x+1)-f(x) обращается в ноль при x=6. При каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3)-f(x)?

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом. У нас есть квадратный трехчлен \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Сначала проанализируем функцию \( y = f(x+1) - f(x) \).

1. Подставим \( x+1 \) в функцию: \[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c). \]

2. Теперь вычтем \( f(x) \): \[ y = f(x+1) - f(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)) - (ax^2 + bx + c). \] Упрощая, получим: \[ y = (2a)x + (a + b). \]

Теперь известно, что эта линейная функция обнуляется при \( x = 6 \): \[ y(6) = 0 \implies (2a)(6) + (a + b) = 0. \] Это можно упростить: \[ 12a + a + b = 0 \implies 13a + b = 0 \implies b = -13a. \]

Теперь обратим внимание на функцию \( y = f(x+3) - f(x) \):

1. Подставим \( x+3 \) в функцию: \[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c. \]

2. Вычтем \( f(x) \): \[ y = f(x+3) - f(x) = (ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)) - (ax^2 + bx + c). \] Упрощая, получим: \[ y = (6a)x + (9a + 3b). \]

Теперь подставим \( b = -13a \): \[ y = (6a)x + (9a + 3(-13a)) = (6a)x + (9a - 39a) = (6a)x - 30a. \] Упрощая, выражение становится: \[ y = 6ax - 30a. \]

Эта функция обращается в ноль, когда: \[ 6ax - 30a = 0 \implies 6ax = 30a. \] Если \( a \neq 0 \) (что обязательно для параболы), тогда делим обе стороны на \( 6a \): \[ x = \frac{30a}{6a} = 5. \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 5 \).