Петя выписывает на карточных трехзначные натуральные числа от 300 до 500 включительно каждая ровно один раз и раскладывает их на кучки так чтобы в одну кучку попадали все карточки…

Для того чтобы решить задачу, давайте сначала определим диапазон трехзначных чисел от 300 до 500. Эти числа имеют форму \(3XY\), где \(X\) и \(Y\) — цифры (от 0 до 9), а \(X\) и \(Y\) — единицы и десятки соответственно.

Так как диапазон от 300 до 500, то первой цифрой будет 3. Следовательно, все числа принимают вид \(3XY\), где \(X\) может варьироваться от 0 до 9, а \(Y\) также от 0 до 9, при этом максимальная комбинация цифр создается, когда \(X=9\) и \(Y=9\).

Теперь мы можем рассмотреть суммы цифр для всех чисел от 300 до 500. Сумма цифр числа \(3XY\) выражается как:

\[ S = 3 + X + Y \]

Теперь найдем возможные значения \(S\):

1. Минимальное значение \(S\):

   • При \(X=0\) и \(Y=0\): \(S_{min} = 3 + 0 + 0 = 3\).

2. Максимальное значение \(S\):

   • При \(X=9\) и \(Y=9\): \(S_{max} = 3 + 9 + 9 = 21\).

Таким образом, возможные значения суммы цифр переменной \(S\) варьируются от 3 до 21. Необходимо выяснить, какие из этих значений могут иметь наибольшее количество чисел.

Теперь рассчитаем количество чисел для каждой суммы. Сумма \(S\) зависит от возможных сочетаний \(X\) и \(Y\), где \(X\) - это десятки (от 0 до 9), а \(Y\) - единицы (от 0 до 9).

Мы можем перебрать все комбинации для \(X + Y\) от 0 до 18 (потому что максимум для \(X + Y\) при \(X=9\) и \(Y=9\) — это 18), и затем прибавить 3 для составления общей суммы \(S = 3 + (X + Y)\).

Итак, суммы цифр \(S\) от 3 до 21 могут быть представлены следующим образом:

• Для \(S=3\): \(X+Y=0\) — 1 комбинация: (0,0) => 300
• Для \(S=4\): \(X+Y=1\) — 2 комбинации: (0,1), (1,0) => 301, 310
• Для \(S=5\): \(X+Y=2\) — 3 комбинации: (0,2),(1,1),(2,0) => 302, 311, 320
• Для \(S=6\): \(X+Y=3\) — 4 комбинации: (0,3),(1,2),(2,1),(3,0) => 303, 312, 321, 330
• Для \(S=7\): \(X+Y=4\) — 5 комбинаций
• Для \(S=8\): \(X+Y=5\) — 6 комбинаций
• Для \(S=9\): \(X+Y=6\) — 7 комбинаций
• Для \(S=10\): \(X+Y=7\) — 8 комбинаций
• Для \(S=11\): \(X+Y=8\) — 9 комбинаций
• Для \(S=12\): \(X+Y=9\) — 10 комбинаций
• Для \(S=13\): \(X+Y=10\) — 9 комбинаций
• Для \(S=14\): \(X+Y=11\) — 8 комбинаций
• Для \(S=15\): \(X+Y=12\) — 7 комбинаций
• Для \(S=16\): \(X+Y=13\) — 6 комбинаций
• Для \(S=17\): \(X+Y=14\) — 5 комбинаций
• Для \(S=18\): \(X+Y=15\) — 4 комбинаций
• Для \(S=19\): \(X+Y=16\) — 3 комбинаций
• Для \(S=20\): \(X+Y=17\) — 2 комбинации
• Для \(S=21\): \(X+Y=18\) — 1 комбинация

Максимальное количество чисел соответствует сумме цифер \(S = 12\), где есть 10 возможных комбинаций (чисел).

Таким образом, наибольшее количество карточек будет в кучке с суммой 12, и, следовательно, Вася может забрать карточки, сумма цифр которых равна 12.