Аделина Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. после объявления итогов Выяснилось что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат А сумма их баллов больше 31. сумма баллов всех трёх девочек оказалось меньше 70 и в 3,5 раза больше чем набрала Паулина .Сколько баллов на Олимпиаде набрала Аделина

Чтобы решить задачу, давайте обозначим количество баллов, набранных каждой девочкой.

Обозначим:

• \( A \) — количество баллов Аделины,
• \( E \) — количество баллов Эвелины,
• \( P \) — количество баллов Паулины.

По условию задачи мы знаем следующее:

1. \( A = E \) (Аделина и Эвелина набрали одинаковое количество баллов).
2. \( A + E > 31 \) (сумма баллов Аделины и Эвелины больше 31).
3. \( A + E + P < 70 \) (сумма баллов всех троих меньше 70).
4. \( A + E + P = 3.5 \cdot P \) (сумма баллов всех троих в 3.5 раза больше, чем у Паулины).

Так как \( A = E \), мы можем подставить это значение в уравнения. Обозначим \( S = A + E = 2A \). Теперь мы можем записать условия на основе \( S \) и \( P \):

1. \( 2A > 31 \) (из первого условия).
2. \( 2A + P < 70 \) (из второго условия).
3. \( 2A + P = 3.5P \) (из третьего условия) или перепишем его в более удобной форме: \( 2A = 3.5P - P = 2.5P \).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 2A > 31 \)
2. \( 2A + P < 70 \)
3. \( 2A = 2.5P \)

Подставим \( P \) из третьего условия в первое и второе. Сначала выразим \( P \):

\( P = \frac{2A}{2.5} = \frac{4A}{5} \).

Теперь подставим это значение в неравенства:

1. \( 2A > 31 \) (это остается без изменений).
2. \( 2A + \frac{4A}{5} < 70 \).

Приведем второе неравенство к общему знаменателю:

\( 2A + \frac{4A}{5} = \frac{10A}{5} + \frac{4A}{5} = \frac{14A}{5} < 70 \).

Умножим обе стороны на 5:

\( 14A < 350 \).

Теперь разделим на 14:

\( A < 25 \).

Итак, у нас есть два условия:

1. \( A > 15.5 \) (из \( 2A > 31 \), следовательно, \( A > 15.5 \))
2. \( A < 25 \).

Таким образом, \( A \) должно быть целым числом, удовлетворяющим этим условиям. Это значит, что возможные значения для \( A \) — это 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Теперь проверим допустимые значения на соответствие всем условиям. Для значения \( A = 16 \):

• \( S = 2 \cdot 16 = 32 \),
• \( P = \frac{2A}{2.5} = \frac{32}{2.5} = 12.8 \) (не целое).

Для \( A = 17 \):

• \( S = 34 \),
• \( P = \frac{34}{2.5} = 13.6 \) (не целое).

Для \( A = 18 \):

• \( S = 36 \),
• \( P = \frac{36}{2.5} = 14.4 \) (не целое).

Для \( A = 19 \):

• \( S = 38 \),
• \( P = \frac{38}{2.5} = 15.2 \) (не целое).

Для \( A = 20 \):

• \( S = 40 \),
• \( P = \frac{40}{2.5} = 16 \) (целое).

Для \( A = 21 \):

• \( S = 42 \),
• \( P = \frac{42}{2.5} = 16.8 \) (не целое).

Для \( A = 22 \):

• \( S = 44 \),
• \( P = \frac{44}{2.5} = 17.6 \) (не целое).

Для \( A = 23 \):

• \( S = 46 \),
• \( P = \frac{46}{2.5} = 18.4 \) (не целое).

Для \( A = 24 \):

• \( S = 48 \),
• \( P = \frac{48}{2.5} = 19.2 \) (не целое).

Таким образом, единственным целым значением, которое удовлетворяет всем условиям, является \( A = 20 \).

Следовательно, Аделина набрала 20 баллов на олимпиаде.