В тетради Оли 100 страниц, девочка решила пронумеровать их по порядку. Но ей не понравилась цифра 1, поэтому она решила не использовать числа, которые содержат свои записи, эту цифру таким образом на 1 странице она написала 2 на 2, 3 на 8, 9, на 9, 20 и так далее, каким числом она пронумеровала последнюю страницу?
Чтобы понять, какие числа Оля использовала для нумерации страниц, давайте сначала определим, какие числа не содержат цифру 1.
Мы будем рассматривать числа от 1 до 100 и исключим все числа, в которых есть цифра 1.
Вот несколько примеров чисел, которые Оля могла бы использовать:
- Цифры от 1 до 9: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (Цифра 1 в этом диапазоне отсутствует).
- Десятки: 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 (все эти числа не содержат 1).
- 30: 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 (также без 1).
- 40: 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.
- 50: 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59.
- 60: 60, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69.
- 70: 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79.
- 80: 80, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89.
- 90: 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99.
Теперь посчитаем количество чисел от 1 до 100, которые не содержат цифры 1. Мы имеем:
- Все числа от 2 до 9 (8 чисел)
- Все числа, которые заканчиваются на 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и имеют десятки от 20 до 90:
20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 → 9 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 → 9 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 → 9 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 → 9 60, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69 → 9 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 → 9 80, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89 → 9 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 → 9
Итак, число страниц, которые не содержат цифру 1, составляет 8 + 9 × 7 = 8 + 63 = 71.
Таким образом, Оля сможет пронумеровать страницы до 71, и последняя страница, которую она пронумеровала, будет 71.
