Петя выписывает на карточках трёхзначные натуральные числа от 300 до 500 включительно (каждое — ровно один раз) и раскладывает их на кучки так, чтобы в одну кучку попадали все карточки с одной и той же суммой цифр. После этого Вася забирает себе кучку, в которой наибольшее количество карточек (если таких кучек несколько, он берёт любую из них). Чему может равняться сумма цифр у каждого из Васиных чисел?

Для решения этой задачи начнем с анализа трехзначных чисел от 300 до 500, что значит, что числа могут принимать вид 3XY, где X и Y - цифры от 0 до 9. Поскольку число начинается с 3, это подразумевает, что сотни фиксированы на 3.

Сумма цифр числа вида 3XY будет равна: \[ S = 3 + X + Y \]

Теперь найдем минимальное и максимальное значения суммы цифр S:

1. Минимальная сумма: Если X и Y равны 0, то: \[ S_{min} = 3 + 0 + 0 = 3 \]

2. Максимальная сумма: Если X и Y равны 9, то: \[ S_{max} = 3 + 9 + 9 = 21 \]

Таким образом, возможные значения суммы цифр S могут варьироваться от 3 до 21.

Далее, мы посчитаем, сколько различных комбинаций (X, Y) могут давать одинаковые суммы S:

Пусть S = 3 + X + Y, тогда мы имеем: \[ X + Y = S - 3 \]

X может принимать значения от 0 до 9, а Y соответственно должен находиться в пределах от 0 до 9, если X варьируется. Это дает следующее ограничение: \[ 0 \leq X \leq 9 \quad \text{и} \quad 0 \leq Y \leq 9 \]

Отсюда вытекает, что общее количество (X, Y) решений можно определить по формуле: \[ Y = S - 3 - X \] Это означает, что: \[ S - 3 - X \geq 0 \\ X \leq S - 3 \]

Также нужно учитывать, что Y должно быть не больше 9. Таким образом, мы получаем два условия:

1. \( X \geq 0 \)
2. \( S - 3 - X \leq 9 \), что можно переписать как \( X \geq S - 12 \)

Это дает нам: \[ \max(0, S - 12) \leq X \leq \min(9, S - 3) \]

Теперь посчитаем количество возможных X для различных значений S:

• Если \( S = 3 \): \( X = 0 \). Всего 1 комбинация.
• Если \( S = 4 \): \( X = 0, 1 \). Всего 2 комбинации.
• Если \( S = 5 \): \( X = 0, 1, 2 \). Всего 3 комбинации.
• Если \( S = 6 \): \( X = 0, 1, 2, 3 \). Всего 4 комбинации.
• Если \( S = 7 \): \( X = 0, 1, 2, 3, 4 \). Всего 5 комбинаций.
• Если \( S = 8 \): \( X = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \). Всего 6 комбинаций.
• Если \( S = 9 \): \( X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \). Всего 7 комбинаций.
• Если \( S = 10 \): \( X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \). Всего 7 комбинаций.
• Если \( S = 11 \): \( X = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \). Всего 6 комбинаций.
• Если \( S = 12 \): \( X = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). Всего 5 комбинаций.
• Если \( S = 13 \): \( X = 4, 5, 6, 7, 8, 9 \). Всего 4 комбинации.
• Если \( S = 14 \): \( X = 5, 6, 7, 8, 9 \). Всего 3 комбинации.
• Если \( S = 15 \): \( X = 6, 7, 8, 9 \). Всего 2 комбинации.
• Если \( S = 16 \): \( X = 7, 8, 9 \). Всего 1 комбинация.
• Если \( S = 17 \): \( X = 8, 9 \). Всего 1 комбинация.
• Если \( S = 18 \): \( X = 9 \). Всего 1 комбинация.
• Если \( S = 19 \): 0 комбинации.
• Если \( S = 20 \): 0 комбинаций.
• Если \( S = 21 \): 0 комбинаций.

Таким образом, максимальное количество карточек будет в кучке со значением суммы цифр 9 (7 комбинаций). Суммы, которые могут быть у Васиных чисел – это значения от 3 до 12, так как именно в этом интервале ищем максимальное количество цифр.

Ответ: 9.