Дан квадратный трёхчлен f(x). Известно, что линейная функция у = f(x+1) - f(x) обращается в ноль при х = 6. При каком значении аргумента обращается в ноль функция у = f(x+3) - f(x)?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что у нас есть квадратный трёхчлен \( f(x) = ax^2 + bx + c \).

Из условия мы знаем, что функция \( y = f(x+1) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 6 \). Найдем выражение для \( y \):

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c) \]

Теперь подставим это в выражение для \( y \):

\[ y = f(x+1) - f(x) = [ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)] - [ax^2 + bx + c] \]

Упрощаем:

\[ y = (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b) \]

Мы знаем, что \( y = 0 \) при \( x = 6 \):

\[ 2a \cdot 6 + (a + b) = 0 \]

Это уравнение можно переписать как:

\[ 12a + a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad 13a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -13a \]

Теперь мы ищем значение аргумента, при котором функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль. Найдем это выражение:

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c \]

Теперь подставим это в \( y \):

\[ y = f(x+3) - f(x) = [ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c] - [ax^2 + bx + c] \]

Упрощаем:

\[ y = (6a + b)x + (9a + 3b) \]

Зная, что \( b = -13a \), подставим это значение:

\[ y = (6a - 13a)x + (9a + 3(-13a)) = -7ax + (9a - 39a) = -7ax - 30a \]

Теперь приравняем к нулю:

\[ -7ax - 30a = 0 \]

Выразим \( x \):

\[ -7ax = 30a \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{30a}{7a} = -\frac{30}{7} \quad (a \neq 0) \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = -\frac{30}{7} \).