Про натуральные числа x, y и z известно, что (x+y)(x+z)(y+z)=1496 Найдите сумму x+y+z.
Чтобы решить данное уравнение \((x + y)(x + z)(y + z) = 1496\), начнем с разбиения числа 1496 на множители.
Сначала разложим 1496 на простые множители: \[ 1496 = 2^3 \times 187 = 2^3 \times 11 \times 17 \]
Теперь выразим \((x + y), (y + z)\) и \((z + x)\) через произведение этих множителей. Обозначим:
- \(a = x + y\)
- \(b = y + z\)
- \(c = z + x\)
Тогда: \[ abc = 1496 \]
Следовательно, необходимо найти такие натуральные числа \(a\), \(b\) и \(c\), которые дают произведение 1496.
Из расчета видим, что 1496 имеет множество различных разложений. Рассмотрим, например, одно из разложений:
- \(a = 8\), \(b = 11\), \(c = 17\).
Теперь можем выразить \(x\), \(y\) и \(z\):
- Из уравнения \(a + b + c = 2(x + y + z)\) получаем \(x + y + z = \frac{a + b + c}{2} = \frac{8 + 11 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18\).
Теперь проверим, все ли условия выполняются:
- \(x + y = 8\)
- \(y + z = 11\)
- \(z + x = 17\)
Решим систему этих уравнений:
- \(x + y = 8\) → \(y = 8 - x\)
- Подставим во второе: \(8 - x + z = 11\) → \(z = 11 - (8 - x) = x + 3\)
- Подставим во третье: \( (x + 3) + x = 17\) → \(2x + 3 = 17\) → \(2x = 14\) → \(x = 7\)
Теперь, зная \(x\):
- \(y = 8 - x = 8 - 7 = 1\)
- \(z = x + 3 = 7 + 3 = 10\)
Таким образом, \(x = 7\), \(y = 1\), \(z = 10\). Сумма \(x + y + z = 7 + 1 + 10 = 18\).
Ответ: сумма \(x + y + z = 18\).
