На стороні ВС квадрата АВСD позначили точку М так , що АМ = 2ВМ. Знайдіть кут МАD.

Чтобы решить задачу, давайте начнем с расстановки точек и анализа условий.

1. Пусть квадрат ABCD расположен в координатной системе, где:

   • A(0, 0)
   • B(1, 0)
   • C(1, 1)
   • D(0, 1)

2. Точка M расположена на стороне BC. Обозначим координаты точки M как (1, y), где y находится в пределах от 0 до 1.

3. Согласно условию, AM = 2BM. Для этого сначала найдем расстояния AM и BM:

   • \( AM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{1 + y^2} \)
   • \( BM = \sqrt{(1 - 1)^2 + (y - 0)^2} = |y| = y \) (так как y – положительное)

4. Теперь подставим найденные значения в условие AM = 2BM: \[ \sqrt{1 + y^2} = 2y \] Квадратируем обе стороны уравнения: \[ 1 + y^2 = 4y^2 \] Переносим все члены в одну сторону: \[ 0 = 3y^2 - 1 \] Отсюда находим y: \[ 3y^2 = 1 \implies y^2 = \frac{1}{3} \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ (положительное значение)} \]

5. Теперь мы можем определить координаты точки M: \[ M = \left( 1, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \]

6. Теперь, чтобы найти угол MAD, используем координаты:

   • A(0, 0)
   • D(0, 1)
   • M(1, \(\frac{1}{\sqrt{3}}\))

7. Для этого найдем векторы:

   • вектор AM: \( A \to M = (1 - 0, \frac{1}{\sqrt{3}} - 0) = (1, \frac{1}{\sqrt{3}}) \)
   • вектор AD: \( A \to D = (0 - 0, 1 - 0) = (0, 1) \)

8. Теперь найдем угол между векторами AM и AD, используя скалярное произведение: \[ \cos \theta = \frac{AM \cdot AD}{|AM| \cdot |AD|} \] Сначала находим скалярное произведение: \[ AM \cdot AD = 1 \cdot 0 + \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Затем длины векторов: \[ |AM| = \sqrt{1^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ |AD| = 1 \]

9. Теперь подставим в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 1} = \frac{1}{2} \] Следовательно, угол \( \theta = 60^\circ \).

Таким образом, угол MAD равен \( 60^\circ \).