Дана окружность W с центром О. M и N середины радиусов OA и OB, на окружности выбраны точки E и F так что EF переживает точки M и N. Найдите отношение радиуса окружности W к длине…

Рассмотрим окружность \( W \) с центром \( O \) и радиусом \( R \). Поскольку \( M \) и \( N \) являются серединами радиусов \( OA \) и \( OB \), расстояния \( OM \) и \( ON \) равны \( \frac{R}{2} \).

Дано, что линия \( EF \) проходит через точки \( M \) и \( N \), и отношение длины \( EF \) к длине отрезка \( MN \) равно 5.

Чтобы найти длину хорды \( EF \), воспользуемся тем, что \( MN \) является отрезком, соединяющим середины радиусов. Поскольку \( M \) и \( N \) находятся на радиусах, угол \( AMB \) будет прямым, и в прямоугольном треугольнике \( OMA \) и \( OMB \) по теореме Пифагора можно найти длину отрезка \( MN \):

\[ MN = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} = \sqrt{R^2 - \frac{R^2}{4}} = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2} \]

Теперь, учитывая, что \( EF = 5 \cdot MN \):

\[ EF = 5 \cdot \frac{R\sqrt{3}}{2} = \frac{5R\sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, отношение радиуса окружности \( W \) к длине хорды \( EF \) можно выразить как:

\[ \frac{R}{EF} = \frac{R}{\frac{5R\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{5\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{15} \]

Таким образом, это и будет искомое отношение радиуса окружности \( W \) к длине хорды \( EF \).