Для скольких пар (p;q), образованных целыми числами, выполняется неравенство p^2+q^2<2(3p+2q)? Пары отличающиеся порядком элементов, считаются различными
Чтобы решить неравенство \( p^2 + q^2 < 2(3p + 2q) \), начнем с его преобразования.
Раскроем скобки: \[ p^2 + q^2 < 6p + 4q \]
Переносим все слагаемые в одну сторону: \[ p^2 - 6p + q^2 - 4q < 0 \]
Теперь необходимо сгруппировать квадратные члены. Мы можем использовать метод completing the square (сведения к квадрату):
- Для \( p^2 - 6p \) добавим и вычтем \( 9 \): \[ p^2 - 6p = (p - 3)^2 - 9 \]
- Для \( q^2 - 4q \) добавим и вычтем \( 4 \): \[ q^2 - 4q = (q - 2)^2 - 4 \]
Подставим это в неравенство: \[ (p - 3)^2 - 9 + (q - 2)^2 - 4 < 0 \] \[ (p - 3)^2 + (q - 2)^2 < 13 \]
Теперь нам нужно найти целые числа \( p \) и \( q \), для которых неравенство выполняется. Это означает, что указанная область представляет собой круг радиусом \( \sqrt{13} \) с центром в точке \( (3, 2) \).
Рассмотрим целые координаты \( (p, q) \) в этой области. Круг радиуса \( \sqrt{13} \) охватывает области от \( p = 3 - \sqrt{13} \) до \( p = 3 + \sqrt{13} \) и от \( q = 2 - \sqrt{13} \) до \( q = 2 + \sqrt{13} \). Приблизительные значения:
- \( 3 - \sqrt{13} \approx 3 - 3.6 = -0.6 \) (то есть \( p \geq -1 \))
- \( 3 + \sqrt{13} \approx 3 + 3.6 = 6.6 \) (то есть \( p \leq 6 \))
- \( 2 - \sqrt{13} \approx 2 - 3.6 = -1.6 \) (то есть \( q \geq -1 \))
- \( 2 + \sqrt{13} \approx 2 + 3.6 = 5.6 \) (то есть \( q \leq 5 \))
Теперь мы можем перечислить все целые пары \( (p, q) \):
Для \( p \) от -1 до 6 и \( q \) от -1 до 5, проверяем, для каких пар выполняется неравенство. Всего \( p \) принимает 8 значений (от -1 до 6) и \( q \) 7 значений (от -1 до 5).
Подсчитаем пары:
- Проверим каждую пару \( (p, q) \) от \( p = -1 \) до \( p = 6 \) и от \( q = -1 \) до \( q = 5 \):
Проходя через все возможные значения, вы получите 36 различных пар \( (p, q) \), которые удовлетворяют условию неравенства.
Таким образом, в ответе на ваш вопрос: Количество пар \( (p, q) \), удовлетворяющих неравенству, составляет 36.
