дан прямоугольный параллелепипед авсда1в1с1д1. АВ = АД=2; АА1=1. Найти угол между прямой АС1 и плоскостью АВ1С
Чтобы найти угол между прямой \( AC_1 \) и плоскостью \( AB_1C \) в данном прямоугольном параллелепипеде, начнем с определения векторов.
Определение координат вершин:
- Пусть \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(2, 0, 0) \)
- \( C(2, 2, 0) \)
- \( D(0, 2, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(2, 0, 1) \)
- \( C_1(2, 2, 1) \)
- \( D_1(0, 2, 1) \)
Определим вектор \( AC_1 \): \[ AC_1 = C_1 - A = (2, 2, 1) - (0, 0, 0) = (2, 2, 1) \]
Находим нормальный вектор плоскости \( AB_1C \): Для определения нормали нам нужны два вектора, которые лежат в плоскости:
- Вектор \( AB_1 \): \( B_1 - A = (2, 0, 1) - (0, 0, 0) = (2, 0, 1) \)
- Вектор \( AC \): \( C - A = (2, 2, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2, 0) \)
Найдем нормальный вектор \( n \) к плоскости \( AB_1C \) с помощью векторного произведения: \[ n = AB_1 \times AC = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i} (0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - \hat{j} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + \hat{k} (2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) \] \[ n = \hat{i} (-2) - \hat{j} (-2) + \hat{k} (4) = (-2, 2, 4) \]
Теперь находим угол между вектором \( AC_1 \) и нормальным вектором плоскости \( n \) с помощью скалярного произведения: \[ \cos \theta = \frac{AC_1 \cdot n}{|AC_1| |n|} \]
Сначала вычислим скалярное произведение: \[ AC_1 \cdot n = (2, 2, 1) \cdot (-2, 2, 4) = 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = -4 + 4 + 4 = 4 \]
Найдем длины векторов: \[ |AC_1| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] \[ |n| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]
Теперь можем подставить: \[ \cos \theta = \frac{4}{3 \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{4}{6\sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} \]
Найдём синус угла между прямой и плоскостью: Угол \( \phi \) между прямой \( AC_1 \) и плоскостью \( AB_1C \) связан с углом \( \theta \) следующим образом: \[ \sin \phi = \cos \theta \] Таким образом, мы можем найти искомый угол \( \phi \): \[ \phi = \arccos\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right) \]
Угол между прямой \( AC_1 \) и плоскостью \( AB_1C \) определяется формулой \( \phi = \arccos\left(\frac{2}{3\sqrt{6}}\right) \). Вычислите \( \phi \) для получения численного значения.
