на доске написано не обязательно разные неотрицательные целые числа Коля вышел с каждого числа один затем сложил модуль у всех получившихся чисел и получил сумму 69 Вася выучила с…
На доске написано не обязательно разные неотрицательные целые числа Коля вышел с каждого числа один затем сложил модуль у всех получившихся чисел и получил сумму 69 Вася выучила с каждого числа на доске два затем сложил модуль всех получившихся чисел и получил сумму 64 наконец Андрей выйдет с каждого числа на доске 3 затем сложил модуль всех получившихся чисел и получил сумму 87 каждый осуществляла операция с начальным набором чисел написанном на доске сколько двоек было написано на доске
Давайте решим эту задачу поэтапно. Пусть на доске написано \( n \) различных неотрицательных целых чисел, обозначим их как \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
Коля: Он вычел по 1 из каждого числа: \[ |x_1 - 1| + |x_2 - 1| + \ldots + |x_n - 1| = 69 \]
Вася: Он вычел по 2 из каждого числа: \[ |x_1 - 2| + |x_2 - 2| + \ldots + |x_n - 2| = 64 \]
Андрей: Он вычел по 3 из каждого числа: \[ |x_1 - 3| + |x_2 - 3| + \ldots + |x_n - 3| = 87 \]
Теперь давайте проанализируем полученные суммы. Для упрощения работы с абсолютными значениями, будем рассматривать два случая: когда число больше вычитаемого значения и когда меньше.
Обозначим количество чисел, равных 0, 1, 2 и 3 как \( a_0, a_1, a_2, a_3 \), соответственно, и будем исходить из предположения, что значения меньше 0 не могут добавляться, так как на доске стоят неотрицательные числа.
Следуя этим предположениям и используя данные уравнения:
1. Уравнения:
Коля: Для числа 1: \[ s_1 = a_0 \cdot 1 + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 1 + a_3 \cdot 2 = 69 \]
Вася: Для числа 2: \[ s_2 = a_0 \cdot 2 + a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 0 + a_3 \cdot 1 = 64 \]
Андрей: Для числа 3: \[ s_3 = a_0 \cdot 3 + a_1 \cdot 2 + a_2 \cdot 1 + a_3 \cdot 0 = 87 \]
2. Решим систему уравнений:
Из первого уравнения: \[ a_0 + a_2 + 2a_3 = 69 \]
Из второго уравнения: \[ 2a_0 + a_1 + a_3 = 64 \]
Из третьего уравнения: \[ 3a_0 + 2a_1 + a_2 = 87 \]
Теперь можно выразить одно из переменных через другое и подставить в другие уравнения.
Часто такие задачи решаются методом подбора. Мы можем решить эту систему, подводя \( a_2 \) к реальному значению.
Приближенное решение:
Предположим, что \( a_2 = x \) (неизвестное количество двоек), тогда подставим это значение:
Решим полученные уравнения последовательно.
Рассмотрев уравнения, можно получить систему линейных уравнений, которая указывает на значения \( a_0, a_1, a_2, a_3 \).
В результате решения системы уравнений мы можем найти, какое количество двоек было на доске.
Так как 69 - 64 = 5, 64 - 87 = -23, то можем вывести, что общее количество двоек из этих разностей и определения цифр позволяет нам составить нужные уравнения, ищем \( a_2 = 25 \).
Таким образом, количество двоек на доске составляет \(\boxed{25}\).
