Дана окружность w с центром О. Точки М и N - соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности w. На окружности w выбраны точки E и F так, что хорда EF проходит через точки М и…

Для решения данной задачи давайте обозначим радиус окружности \( r \). Поскольку М и N – это середины радиусов OA и OB, соответственно, то длины отрезков OM и ON равны \( \frac{r}{2} \).

Поскольку хорда EF проходит через точки M и N, то с помощью теоремы о средней линии мы можем записать соотношение между длиной хорды и радиусом окружности.

Из условия задачи известно, что отношение длины хорды EF к отрезку MN равно 10:

\[ \frac{EF}{MN} = 10 \]

Определим длину отрезка MN. Так как M и N являются серединами радиусов, то:

\[ MN = \sqrt{OA^2 - OM^2} + \sqrt{OB^2 - ON^2} \]

Так как OA = OB = r, то получаем:

\[ MN = \sqrt{r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2} + \sqrt{r^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2} = 2 \cdot \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{4}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{3r^2}{4}} = r\sqrt{3} \]

Теперь подставим это значение в соотношение:

\[ \frac{EF}{r\sqrt{3}} = 10 \]

Отсюда мы находим:

\[ EF = 10 \cdot r\sqrt{3} \]

Теперь нам нужно найти отношение радиуса окружности к длине хорды, или \( \frac{r}{EF} \):

\[ \frac{r}{EF} = \frac{r}{10 \cdot r\sqrt{3}} = \frac{1}{10\sqrt{3}} \]

Теперь найдем квадрат этого отношения:

\[ \left(\frac{r}{EF}\right)^2 = \left(\frac{1}{10\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{100 \cdot 3} = \frac{1}{300} \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{1}{300} \]