Дан квадратный трёхчлен f(x). Известно, что линейная функция y = f(x+1) - f(x) обращается в ноль при х = 6. При каком значении аргумента обращается в ноль функция у = f(x+3) - f(x)?

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. У вас есть квадратный трёхчлен \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где \( a, b, c \) — это некоторые коэффициенты.

Во-первых, проанализируем линейную функцию \( y = f(x+1) - f(x) \). Найдем её значение:

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c). \]

Таким образом,

\[ y = f(x+1) - f(x) = \left[ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)\right] - \left[ax^2 + bx + c\right]. \]

Упрощаем это выражение:

\[ y = (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b). \]

Поскольку дано, что эта линейная функция обращается в ноль при \( x = 6 \), мы имеем:

\[ 2a(6) + (a + b) = 0. \]

Упрощаем уравнение:

\[ 12a + a + b = 0 \implies 13a + b = 0 \implies b = -13a. \]

Теперь перейдем к второй функции \( y = f(x+3) - f(x) \). Вычислим её значение:

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c). \]

Следовательно,

\[ y = f(x+3) - f(x) = \left[ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)\right] - \left[ax^2 + bx + c\right]. \]

Упрощаем:

\[ y = (6a + b - b)x + (9a + 3b + c - c) = 6ax + (9a + 3b). \]

Теперь подставим \( b = -13a \):

\[ y = 6ax + (9a + 3(-13a)) = 6ax + (9a - 39a) = 6ax - 30a = 6a(x - 5). \]

Для нахождения нуля этой функции решим уравнение \( 6a(x - 5) = 0 \). Это уравнение обращается в ноль, когда:

\[ x - 5 = 0 \implies x = 5. \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 5 \).