На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего…

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберёмся со свойствами правильных шестиугольников и их диагоналями.

1. Площадь шестиугольника: Площадь \( S \) правильного шестиугольника можно выразить через длину его стороны \( a \) по формуле: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Мы знаем, что площадь меньшего шестиугольника равна 54. Подставляем в формулу: \[ 54 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Отсюда можем найти длину стороны \( a \): \[ a^2 = \frac{54 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{108}{3\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3} \] \[ a = \sqrt{12\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt{3} = 2\cdot 3^{3/4} \]

2. Диагонали шестиугольника: Для правильного шестиугольника длины его диагоналей:

   • Наименьшая диагональ соответствует расстоянию между двумя вершинами, которые смещены на одну позицию по часовой стрелке, и равна \( a \).
   • Наибольшая диагональ проходит через центр шестиугольника и длиной равна \( 2a \).

3. Касание диагоналей: У нас есть условие, что наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего. Значит, минимальная диагональ большого шестиугольника \( 2A \) (где \( A \) — это длина стороны большего шестиугольника) равна \( 2a \): \[ 2A = 2a \quad \Rightarrow \quad A = a \] Это указывает на то, что стороны обоих шестиугольников равны, и соответственно их площади будут равны.

4. Площадь пересечения: Учитывая, что оба шестиугольника имеют равные стороны и перекрываются идеально, когда один стал больше другого, их пересечение образует один из шестиугольников, а площадь пересечения равняется площади меньшего шестиугольника: \[ S_{\text{пересечения}} = S_{\text{меньшего}} = 54 \]

Таким образом, площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников, равна 54.