Петя перемножил десять различных целых чисел от 521 до 671. На какое наибольшее число нулей могла оканчиваться десятичная запись полученного произведения?
Чтобы определить, на сколько нулей может оканчиваться произведение десяти различных целых чисел от 521 до 671, необходимо определить количество пар чисел 2 и 5 (так как 10 = 2 × 5).
Количество 2 в произведении: Числа от 521 до 671 включают множество четных чисел. Каждое четное число добавляет минимум один 2 в произведение. Чтобы найти количество четных чисел, мы можем использовать формулу для количества элементов в интервале от a до b: \[ \text{Количество четных чисел} = \left\lfloor \frac{b}{2} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{a-1}{2} \right\rfloor \] Подставляя наши значения: \[ a = 521, \quad b = 671 \] \[ \left\lfloor \frac{671}{2} \right\rfloor = 335, \quad \left\lfloor \frac{520}{2} \right\rfloor = 260 \] \[ \text{Количество четных чисел} = 335 - 260 = 75 \]
Количество 5 в произведении: Теперь посчитаем, сколько раз число 5 встречается в диапазоне. Для этого мы можем искать кратные 5:
\[ \left\lfloor \frac{671}{5} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{520}{5} \right\rfloor \] Подставляем: \[ \left\lfloor \frac{671}{5} \right\rfloor = 134, \quad \left\lfloor \frac{520}{5} \right\rfloor = 104 \] \[ \text{Количество кратных 5} = 134 - 104 = 30 \]
Определение числа 10 в произведении: Для получения количества нулей в произведении нужно взять минимум из количества 2 и 5, так как каждая пара (2, 5) образует 10. Мы нашли: \[ \text{Количество 2} = 75, \quad \text{Количество 5} = 30 \]
Таким образом, \[ \text{Количество нулей} = \min(75, 30) = 30 \]
Следовательно, наибольшее число нулей, на которые могла оканчиваться десятичная запись произведения десяти различных целых чисел от 521 до 671, равно 30.
