Найдите все натуральные n такие, что найдётся простое число p, для которого выполняется равенство 6n2+p+3=n(2p+9).

Для решения уравнения \( 6n^2 + p + 3 = n(2p + 9) \) начнем с его преобразования. Прежде всего, организуем уравнение так, чтобы все члены были с одной стороны:

\[ 6n^2 + p + 3 - n(2p + 9) = 0. \]

Раскроем скобки:

\[ 6n^2 + p + 3 - 2np - 9n = 0. \]

Теперь соберем подобные:

\[ 6n^2 - 9n + p - 2np + 3 = 0. \]

Таким образом, у нас получится квадратное уравнение относительно \( p \):

\[ (1 - 2n)p + (6n^2 - 9n + 3) = 0. \]

Теперь найдем \( p \):

\[ p = \frac{9n - 6n^2 - 3}{1 - 2n}. \]

Для того чтобы \( p \) было простым числом и натуральным, нужно, чтобы числитель был натуральным числом, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, необходимо решить неравенство:

\[ 1 - 2n \neq 0 \implies n \neq \frac{1}{2}, \]

что всегда верно для натуральных чисел. Далее, чтобы числитель \( 9n - 6n^2 - 3 \) был положительным, учитываем:

\[ 9n - 6n^2 - 3 > 0. \]

Решим неравенство:

\[ -6n^2 + 9n - 3 > 0. \]

Умножим на -1 (не меняя знак неравенства):

\[ 6n^2 - 9n + 3 < 0. \]

Для нахождения корней этого квадратного уравнения воспользуемся формулой:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 81 - 72 = 9. \]

Корни уравнения:

\[ n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 3}{12} \Rightarrow n_1 = 1, n_2 = \frac{1}{2}. \]

Теперь определим, на каком интервале \( 6n^2 - 9n + 3 < 0 \). Решим \( (n - 1)(6n - 3) < 0 \), что указывает на интервал \( 1 < n < \frac{1}{2} \). Однако этот интервал не содержит натуральных чисел. Таким образом, нам нужно проверить значения \( n \geq 1 \) (так как \( n \) натуральное).

Проверим \( n = 1 \):

\[ p = \frac{9 \cdot 1 - 6 \cdot 1^2 - 3}{1 - 2 \cdot 1} = \frac{9 - 6 - 3}{1 - 2} = \frac{0}{-1} = 0 \quad (\text{не натуральное}). \]

Теперь \( n = 2 \):

\[ p = \frac{9 \cdot 2 - 6 \cdot 2^2 - 3}{1 - 2 \cdot 2} = \frac{18 - 24 - 3}{1 - 4} = \frac{-9}{-3} = 3 \quad (\text{простое}). \]

\( n = 3 \):

\[ p = \frac{9 \cdot 3 - 6 \cdot 3^2 - 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{27 - 54 - 3}{1 - 6} = \frac{-30}{-5} = 6 \quad (\text{не простое}). \]

Таким образом, единственное натуральное \( n \), при котором существует простое \( p \), это \( n = 2 \).

Ответ: \( n = 2 \).