Дан квадратный трёхчлен f(x). Известно, что линейная функция y=f(x+1)−f(x) обращается в ноль при x=5. При каком значении аргумента обращается в ноль функция y=f(x+3)−f(x)?

Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что \( f(x) \) — это квадратный трёхчлен, который можно записать в общем виде:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — некоторые константы.

Теперь рассмотрим первую функцию:

\[ y_1 = f(x+1) - f(x). \]

Вычислим \( f(x+1) \):

\[ f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c. \]

Таким образом, получаем:

\[ f(x+1) = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c). \]

Теперь подставим это обратно в выражение для \( y_1 \):

\[ y_1 = f(x+1) - f(x) = (ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)) - (ax^2 + bx + c) = (2a)x + (a + b). \]

Это линейная функция, которая равна нулю при \( x = 5 \):

\[ 2a \cdot 5 + (a + b) = 0. \]

Решим это уравнение:

\[ 10a + a + b = 0 \implies 11a + b = 0 \implies b = -11a. \]

Теперь рассмотрим вторую функцию:

\[ y_2 = f(x+3) - f(x). \]

Сначала найдем \( f(x+3) \):

\[ f(x+3) = a(x+3)^2 + b(x+3) + c = a(x^2 + 6x + 9) + b(x + 3) + c = ax^2 + 6ax + 9a + bx + 3b + c. \]

Теперь подставим это обратно:

\[ y_2 = f(x+3) - f(x) = (ax^2 + (6a + b)x + (9a + 3b + c)) - (ax^2 + bx + c) = (6a + b - b)x + (9a + 3b) = 6ax + (9a + 3b). \]

Теперь подставим значение \( b = -11a \) в выражение \( 9a + 3b \):

\[ 9a + 3(-11a) = 9a - 33a = -24a. \]

Таким образом, \( y_2 = 6ax - 24a \). Для нахождения нуля этой функции при \( y_2 = 0 \):

\[ 6ax - 24a = 0. \]

Разделим обе стороны на \( 6a \) (при \( a \neq 0 \)):

\[ x - 4 = 0 \implies x = 4. \]

Таким образом, функция \( y = f(x+3) - f(x) \) обращается в ноль при \( x = 4. \)