В первую строчку записали число 1. Во вторую строчку число 12. Далее в строчку с номером k записывали число, получающееся приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112). Всего на доску выписали 110 строчек (то есть 110 чисел). Сколько из них делятся на 3?

Для решения этой задачи нам нужно определить, какие числа, записанные в строчках, делятся на 3.

Напомним, что в первой строчке записано число 1, во второй – 12, а в третьей строчке записывается число, состоящее из всех натуральных чисел от 1 до k, записанных подряд. Таким образом, общее число в k-ой строчке будет представлять собой конкатенацию чисел от 1 до k: \(1, 2, 3, \ldots, k\).

Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр также делилась на 3. Давайте разберемся, какова будет сумма цифр для k-ой строчки.

1. Сумма цифр для чисел от 1 до k: Когда мы записываем числа от 1 до k, сумма их цифр будет равна сумме всех единиц, десятков и т.д.

2. Определим сумму цифр для нескольких k:

   • Для k = 1: сумма цифр = 1.
   • Для k = 2: сумма цифр = 1 + 2 = 3.
   • Для k = 3: сумма цифр = 1 + 2 + 3 = 6.
   • Для k = 4: сумма цифр = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
   • Для k = 5: сумма цифр = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
   • И так далее.

3. Общая схема: Сумма цифр от 1 до k равна \( \text{Сумма}(k) = \frac{k(k + 1)}{2} \) (это сумма первых k натуральных чисел).

4. Теперь нам нужно определить, при каких значениях k эта сумма делится на 3. Мы можем использовать правило делимости на 3:

   • \( \frac{k(k + 1)}{2} \equiv 0 \mod 3 \).

Это значит, что нам нужно посмотреть на возможные значения k (от 1 до 110) и проверить, как \( k(k + 1)/2 \) ведет себя по модулю 3.

5. Проверка значений k от 1 до 110:
   • Если k кратно 3 или k+1 кратно 3, то произведение делится на 3. Это происходит, когда k = 3m (где m — целое число) или k = 3m - 1 (где m — тоже целое число).

Следовательно, мы можем посчитать количество подходящих значений k с 1 до 110:

• Числа, делящиеся на 3: 3, 6, ..., 108.
• Числа, на 1 меньше, которые делятся на 3: 2, 5, ..., 110.

Эти последовательности будут:

1. Первое (кратные 3): k = 3, 6, 9, ..., 108 (всего 36 значений).
2. Второе (кратные 3, но предыдущие): k = 2, 5, 8, ..., 110 (также 36 значений).

Таким образом, всего среди 110 строчек 72 числа будут делиться на 3.

Ответ: 72 числа.